Чтобы найти длину средней линии, параллельной стороне AC, нам нужно сначала определить координаты середины отрезка AB, так как средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон.
- Найдём координаты середины отрезка AB. Координаты середины отрезка можно найти по формуле:
[
M_{AB} \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
]
где ( A(3; -1) ) и ( B(-5; 7) ).
Подставим координаты:
[
M_{AB} = \left( \frac{3 + (-5)}{2}; \frac{-1 + 7}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}; \frac{6}{2} \right) = (-1; 3)
]
- Теперь найдём координаты середины отрезка AC:
[
M_{AC} \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right)
]
где ( A(3; -1) ) и ( C(1; 5) ).
Подставим координаты:
[
M_{AC} = \left( \frac{3 + 1}{2}; \frac{-1 + 5}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{4}{2} \right) = (2; 2)
]
- Теперь мы нашли середины отрезков AB и AC. Длина средней линии между этими двумя точками - это расстояние между точками ( M_{AB}(-1; 3) ) и ( M_{C}(2; 2) ):
Расстояние ( d ) между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) рассчитывается по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставляем координаты:
[
d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
]
Таким образом, длина средней линии, параллельной AC, равна ( \sqrt{10} ).
