Найди площадь полной поверхности правильной треугольной призмы с ребром основания 5 квадратный корень из 3 ​ и боковым ребром 3

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, нам нужно знать площадь основания и площадь боковой поверхности. Давайте разберем решение этой задачи пошагово.

Шаг 1: Площадь основания

Правильная треугольная призма имеет в качестве основания правильный треугольник. Даны следующие данные:

• Длина ребра основания \( a = 5\sqrt{3} \).

Для нахождения площади правильного треугольника используется формула:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим значение \( a \):

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} (5\sqrt{3})^2 \]

Сначала найдем \( (5\sqrt{3})^2 \):

\[ (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \]

Теперь подставим это значение в формулу площади треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 75 = \frac{75\sqrt{3}}{4} \]

Шаг 2: Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность призмы состоит из трех прямоугольников, где каждая из них имеет одну сторону, равную боковому ребру \( h \), и другую сторону, равную стороне основания \( a \).

Дано, что высота боковой стороны призмы \( h = 3 \).

Площадь одного прямоугольника (боковой грани) будет равна:

\[ S_{\text{прямоугольника}} = a \cdot h \]

Так как у нас три таких боковых прямоугольника, общая площадь боковой поверхности равна:

\[ S_{\text{бок. пов.}} = 3 \cdot (a \cdot h) = 3 \cdot (5\sqrt{3} \cdot 3) = 3 \cdot 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3} \]

Шаг 3: Полная площадь поверхности

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности призмы, сложив площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{треугольника}} + S_{\text{бок. пов.}} = \frac{75\sqrt{3}}{4} + 45\sqrt{3} \]

Приведем 45\(\sqrt{3}\) к общему знаменателю, чтобы сложить дроби. Для этого умножим 45\(\sqrt{3}\) на 4/4:

\[ 45\sqrt{3} = \frac{180\sqrt{3}}{4} \]

Теперь суммы будут:

\[ S_{\text{полная}} = \frac{75\sqrt{3}}{4} + \frac{180\sqrt{3}}{4} = \frac{255\sqrt{3}}{4} \]

Ответ

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной призмы равна:

\[ S_{\text{полная}} = \frac{255\sqrt{3}}{4} \]

Это и есть искомая площадь.