В прямоугольном треугольнике M N K MNK внешний угол при вершине M M равен 12 0 ∘ 120 ∘ . Катет K N KN равен 3 3 3 3 . Найди длину гипотенузы M K MK .
Чтобы найти длину гипотенузы \( MK \) в прямоугольном треугольнике \( MNK \), следуем пошагово.
Определим известные данные:
- У нас есть прямоугольный треугольник \( MNK \), где угол \( M \) является внешним. Его величина равна \( 120^\circ \).
- Известен катет \( KN \), который равен \( 3 \).
Находим величину внутреннего угла \( M \):
Внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренних углов. В нашем случае: \[ \text{Внутренний угол } M = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]Используем тригонометрию для нахождения гипотенузы:
В прямоугольном треугольнике мы можем использовать синус угла для нахождения гипотенузы: \[ \sin(\text{угол } M) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \] Здесь противоложный катет \( KN = 3 \), а угол \( M = 60^\circ \).Подставим известные значения в формулу: \[ \sin(60^\circ) = \frac{3}{MK} \]
Значение \( \sin(60^\circ) \):
Известно, что: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]Подстановка в уравнение:
Подставляем полученное значение в уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{MK} \]Решаем уравнение:
Перемножим обе стороны на \( MK \): \[ \sqrt{3} \cdot MK = 6 \] Теперь делим обе стороны на \( \sqrt{3} \): \[ MK = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \]Вывод:
Таким образом, длина гипотенузы \( MK \) равна \( 2\sqrt{3} \) или приблизительно равна \( 3.46 \) (если нужно предварительное значение).
Длина гипотенузы \( MK \) в прямоугольном треугольнике \( MNK \) равна \( 2\sqrt{3} \).
