Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, как определяется период колебаний в LC-колебательном контуре. Период колебаний ( T ) в таком контуре определяется формулой:
[
T = 2\pi\sqrt{LC}
]
где:
- ( L ) — индуктивность катушки,
- ( C ) — емкость конденсатора.
Теперь распишем нашу задачу по шагам.
Шаг 1: Определим период первого контура
Пусть первый контур имеет индуктивность ( L ) и емкость ( C ). Тогда его период колебаний будет:
[
T_1 = 2\pi\sqrt{LC}
]
Шаг 2: Определим параметры второго контура
У второго контура индуктивность ( L_2 = \frac{L}{18} ) и емкость ( C_2 = 12.5C ). Подставим эти значения в формулу для периода:
[
T_2 = 2\pi\sqrt{L_2 C_2} = 2\pi\sqrt{\left(\frac{L}{18}\right)(12.5C)}
]
Шаг 3: Упростим выражение для второго периода
Мы можем упростить выражение для ( T_2 ):
[
T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{18} \cdot 12.5C} = 2\pi\sqrt{\frac{12.5LC}{18}} = 2\pi\sqrt{\frac{12.5}{18}} \sqrt{LC}
]
Шаг 4: Найдем отношение периодов ( \frac{T_1}{T_2} )
Теперь найдем, во сколько раз ( T_1 ) больше ( T_2 ):
[
\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{LC}}{2\pi\sqrt{\frac{12.5}{18}} \sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{12.5}{18}}}
]
Упрощаем это выражение:
[
\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{18}{12.5}} = \sqrt{\frac{1800}{125}} = \sqrt{14.4}
]
Шаг 5: Вычислим окончательное значение
Теперь найдем значение:
[
\sqrt{14.4} \approx 3.8
]
Ответ
Таким образом, период колебаний в первом контуре больше периода колебаний во втором контуре примерно в 3.8 раза.
Это значит, что первый контур колеблется в 3.8 раз дольше, чем второй.
