Для вычисления скалярного произведения векторов ( m ) и ( n ) с использованием угла между ними, мы можем применить формулу:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}| \cdot \cos(\theta)
]
где:
- ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} ) — скалярное произведение векторов,
- ( |\mathbf{m}| ) и ( |\mathbf{n}| ) — длины векторов ( m ) и ( n ) соответственно,
- ( \theta ) — угол между векторами в радианах или градусах.
Дано:
- ( |\mathbf{m}| = 3 )
- ( |\mathbf{n}| = 4 )
- ( \theta = 135^\circ )
Шаг 1: Вычислить косинус угла
Сначала найдём значение ( \cos(135^\circ) ).
[
\cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{(так как угол 135° находится во втором квадранте)}
]
Шаг 2: Подставить значения в формулу
Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)
]
Шаг 3: Подсчет
Используем значение ( \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} ):
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
]
Теперь считаем произведение:
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 12 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2}
]
Ответ
Скалярное произведение векторов ( m ) и ( n ) равно ( -6\sqrt{2} ).
