вычислите скалярное произведение векторов m и n если m=3 n=4, а угол между ними равен 135°
Для вычисления скалярного произведения векторов \( m \) и \( n \) с использованием угла между ними, мы можем применить формулу:
\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}| \cdot \cos(\theta) \]
где:
- \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} \) — скалярное произведение векторов,
- \( |\mathbf{m}| \) и \( |\mathbf{n}| \) — длины векторов \( m \) и \( n \) соответственно,
- \( \theta \) — угол между векторами в радианах или градусах.
Дано:
- \( |\mathbf{m}| = 3 \)
- \( |\mathbf{n}| = 4 \)
- \( \theta = 135^\circ \)
Шаг 1: Вычислить косинус угла
Сначала найдём значение \( \cos(135^\circ) \).
\[ \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{(так как угол 135° находится во втором квадранте)} \]
Шаг 2: Подставить значения в формулу
Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:
\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ) \]
Шаг 3: Подсчет
Используем значение \( \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \):
\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]
Теперь считаем произведение:
\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 12 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2} \]
Ответ
Скалярное произведение векторов \( m \) и \( n \) равно \( -6\sqrt{2} \).
