Для нахождения площади равнобедренной трапеции можно воспользоваться формулой:
[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, ]
где ( a ) и ( b ) — длины оснований, ( h ) — высота трапеции.
В данной задаче основание ( a = 10 ), основание ( b = 24 ), боковая сторона ( c = 25 ).
Сначала найдем высоту трапеции. Для этого нарисуем перпендикуляры из вершин меньшего основания к большему основанию. Обозначим точки.
Пусть ( h ) — высота, а ( x ) — расстояние от одного из концов меньшего основания до точки, где опускается высота.
Тогда в одной из образованных прямоугольных треугольников по теореме Пифагора имеем:
[
c^2 = h^2 + x^2.
]
Так как трапеция равнобедренная, то другой прямоугольный треугольник будет идентичен. Таким образом, общая длина большего основания будет равна ( a + 2x ):
[
a + 2x = b.
]
Подставим значения:
[
10 + 2x = 24.
]
Решим это уравнение:
[
2x = 24 - 10,
]
[
2x = 14,
]
[
x = 7.
]
Теперь подставим значение ( x ) в уравнение для высоты:
[
25^2 = h^2 + 7^2.
]
Считаем:
[
625 = h^2 + 49,
]
[
h^2 = 625 - 49,
]
[
h^2 = 576,
]
[
h = \sqrt{576} = 24.
]
Теперь мы можем найти площадь трапеции, подставив ( h ) и основания в формулу:
[
S = \frac{(10 + 24) \cdot 24}{2} = \frac{34 \cdot 24}{2} = 17 \cdot 24 = 408.
]
Таким образом, площадь трапеции равна ( 408 ) квадратных единиц.
