М - середина АВ, N - середина ВС, К - середина АС треугольника АВС. Средние линии треугольника MN : NK : MK= 2 : 2 : 4, а периметр треугольника АВС равен 45 см. Найдите стороны…

Для решения задачи начнем с определения, что средние линии треугольника относятся к сторонам самого треугольника и описывают связь между длинами сторон. Обозначим стороны треугольника \(AB\), \(BC\) и \(AC\) как \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно.

Шаг 1: Определим, что такое средние линии

Поскольку \(M\), \(N\) и \(K\) являются серединами сторон треугольника, то у нас:

• \(MN\) - средняя линия, параллельная стороне \(AC\) и равная \(\frac{c}{2}\)
• \(NK\) - средняя линия, параллельная стороне \(AB\) и равная \(\frac{a}{2}\)
• \(MK\) - средняя линия, параллельная стороне \(BC\) и равная \(\frac{b}{2}\)

Шаг 2: Используем известные пропорции

Из условия задачи у нас есть соотношения средних линий: \[ MN : NK : MK = 2 : 2 : 4 \]

Это можно записать как: \[ MN = 2k, \quad NK = 2k, \quad MK = 4k, \] где \(k\) – некая постоянная.

Шаг 3: Запишем длины средней линии через стороны треугольника

Сравнивая выражения для средних линий, мы получаем: \[ \frac{c}{2} = 2k \implies c = 4k, \] \[ \frac{a}{2} = 2k \implies a = 4k, \] \[ \frac{b}{2} = 4k \implies b = 8k. \]

Шаг 4: Найдем периметр треугольника

Периметр \(P\) треугольника равен сумме всех его сторон: \[ P = a + b + c = 4k + 8k + 4k = 16k. \] По условию задачи периметр равен 45 см, следовательно: \[ 16k = 45 \implies k = \frac{45}{16} \approx 2.8125. \]

Шаг 5: Найдем длины сторон

Теперь подставим значение \(k\) обратно в длины сторон: \[ a = 4k = 4 \cdot \frac{45}{16} = \frac{180}{16} = 11.25 \text{ см}, \] \[ b = 8k = 8 \cdot \frac{45}{16} = \frac{360}{16} = 22.5 \text{ см}, \] \[ c = 4k = 4 \cdot \frac{45}{16} = \frac{180}{16} = 11.25 \text{ см}. \]

Ответ

Таким образом, стороны треугольника \(ABC\) равны:

• \(AB = 11.25\) см,
• \(BC = 22.5\) см,
• \(AC = 11.25\) см.