Представьте многочлен 36x⁴-4x²+1 в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами

Для того чтобы представить многочлен \(36x^4 - 4x^2 + 1\) в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами, мы можем воспользоваться методом разложения на множители. ### Шаг 1: Подмена переменной Сначала сделаем подстановку для упрощения. Обозначим \(y = x^2\). Тогда наш многочлен можно записать как: \[ 36y^2 - 4y + 1 \] ### Шаг 2: Поиск корней Для того чтобы разложить многочлен на множители, нам нужно найти его корни. Мы используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 36\), \(b = -4\), \(c = 1\). Подставим значения в формулу: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 16 - 144 = -128 \] Поскольку дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)), данный многочлен не имеет действительных корней. Но мы можем выразить его в виде произведения двух квадратных многочленов. ### Шаг 3: Структура многочлена Многочлен второй степени с действительными коэффициентами и без действительных корней можно представить в виде: \[ a(y - m)^2 + b \] где \(m\) — некоторый действительный сдвиг. ### Шаг 4: Выделение полного квадрата Очевидно, что мы можем попытаться записать этот многочлен в виде: \[ (ay^2 + by + c) \] Рассмотрим структуру нашего многочлена: \[ 36y^2 - 4y + 1 = (6y - m)^2 + k \] Теперь приравняем коэффициенты, чтобы совместить это с исходным многочленом. ### Шаг 5: Подбор Итак, предположим, что многочлен можно записать в виде: \[ (6y + A)^2 + B \] где \(A\) и \(B\) окажутся теми самыми значениями, которые дадут нужный результат. ### Шаг 6: Решение Мы можем записать: \[ 36y^2 - 4y + 1 = (6y - 2)^2 + 0 \] Итак, наше уравнение можно разложить как: \[ (6y - 2)^2 = 36(y^2 - \frac{1}{9}) \] ### Шаг 7: Обратная подстановка Теперь вернёмся к переменной \(x\): \[ (6x^2 - 2)^2 \] Таким образом, мы можем записать многочлен \(36x^4 - 4x^2 + 1\) в виде: \[ (6x^2 - 2)^2 \] Или, что эквивалентно: \[ (2 - 6x^2)(2 + 6x^2) \] Таким образом, окончательный ответ: \[ (6x^2 - 2)^2 \] Это и есть разложение многочлена \(36x^4 - 4x^2 + 1\) на произведение двух квадратов.