Представьте многочлен 36x⁴-4x²+1 в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами

Для того чтобы представить многочлен \(36x^4 - 4x^2 + 1\) в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами, мы можем воспользоваться методом разложения на множители.

Шаг 1: Подмена переменной

Сначала сделаем подстановку для упрощения. Обозначим \(y = x^2\). Тогда наш многочлен можно записать как: \[ 36y^2 - 4y + 1 \]

Шаг 2: Поиск корней

Для того чтобы разложить многочлен на множители, нам нужно найти его корни. Мы используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 36\), \(b = -4\), \(c = 1\).

Подставим значения в формулу: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 16 - 144 = -128 \]

Поскольку дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)), данный многочлен не имеет действительных корней. Но мы можем выразить его в виде произведения двух квадратных многочленов.

Шаг 3: Структура многочлена

Многочлен второй степени с действительными коэффициентами и без действительных корней можно представить в виде: \[ a(y - m)^2 + b \] где \(m\) — некоторый действительный сдвиг.

Шаг 4: Выделение полного квадрата

Очевидно, что мы можем попытаться записать этот многочлен в виде: \[ (ay^2 + by + c) \]

Рассмотрим структуру нашего многочлена: \[ 36y^2 - 4y + 1 = (6y - m)^2 + k \]

Теперь приравняем коэффициенты, чтобы совместить это с исходным многочленом.

Шаг 5: Подбор

Итак, предположим, что многочлен можно записать в виде: \[ (6y + A)^2 + B \] где \(A\) и \(B\) окажутся теми самыми значениями, которые дадут нужный результат.

Шаг 6: Решение

Мы можем записать: \[ 36y^2 - 4y + 1 = (6y - 2)^2 + 0 \]

Итак, наше уравнение можно разложить как: \[ (6y - 2)^2 = 36(y^2 - \frac{1}{9}) \]

Шаг 7: Обратная подстановка

Теперь вернёмся к переменной \(x\): \[ (6x^2 - 2)^2 \]

Таким образом, мы можем записать многочлен \(36x^4 - 4x^2 + 1\) в виде: \[ (6x^2 - 2)^2 \]

Или, что эквивалентно: \[ (2 - 6x^2)(2 + 6x^2) \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ (6x^2 - 2)^2 \]

Это и есть разложение многочлена \(36x^4 - 4x^2 + 1\) на произведение двух квадратов.