Чтобы решить задачу, воспользуемся понятием биномального распределения. Мы имеем 10 независимых узлов, каждый из которых может работать с вероятностью ( p = 0,8 ) и выходить из строя с вероятностью ( q = 1 - p = 0,2 ).
Наша цель — найти вероятность того, что в результате работы прибора 4 узла будут неисправны (выйдут из строя).
Шаг 1: Определение необходимых значений
Обозначим:
- ( n = 10 ) (общее количество узлов),
- ( k = 4 ) (количество узлов, которые должны выйти из строя),
- ( p = 0,2 ) (вероятность выхода из строя одного узла),
- ( q = 0,8 ) (вероятность безотказной работы одного узла).
Шаг 2: Формула биномального распределения
Вероятность ( P(k) ) того, что ровно ( k ) узлов выйдут из строя в данном случае вычисляется по формуле:
[
P(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
]
где ( \binom{n}{k} ) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Подставляем значения
- Вычислим биномиальный коэффициент ( \binom{10}{4} ):
[
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
- Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(4) = \binom{10}{4} p^4 q^{10-4} = 210 \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^{6}
]
- Вычислим ( (0,2)^4 ) и ( (0,8)^{6} ):
[
(0,2)^4 = 0,0016
]
[
(0,8)^{6} \approx 0,262144
]
- Подставим эти значения обратно:
[
P(4) = 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144
]
Шаг 4: Вычисляем финальный результат
Теперь можно вычислить:
[
P(4) \approx 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144 \approx 210 \cdot 0,0004194304 \approx 0,0881
]
Шаг 5: Ответ
Вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет приблизительно ( 0,0881 ) или 8,81%.
Таким образом, вы узнали, как использовать биномальное распределение для решения задач подобного рода. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
