Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…
Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна p = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла.
Чтобы решить задачу, воспользуемся понятием биномального распределения. Мы имеем 10 независимых узлов, каждый из которых может работать с вероятностью \( p = 0,8 \) и выходить из строя с вероятностью \( q = 1 - p = 0,2 \).
Наша цель — найти вероятность того, что в результате работы прибора 4 узла будут неисправны (выйдут из строя).
Шаг 1: Определение необходимых значений
Обозначим:
- \( n = 10 \) (общее количество узлов),
- \( k = 4 \) (количество узлов, которые должны выйти из строя),
- \( p = 0,2 \) (вероятность выхода из строя одного узла),
- \( q = 0,8 \) (вероятность безотказной работы одного узла).
Шаг 2: Формула биномального распределения
Вероятность \( P(k) \) того, что ровно \( k \) узлов выйдут из строя в данном случае вычисляется по формуле:
\[ P(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]
где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 3: Подставляем значения
- Вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{10}{4} \):
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(4) = \binom{10}{4} p^4 q^{10-4} = 210 \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^{6} \]
- Вычислим \( (0,2)^4 \) и \( (0,8)^{6} \):
\[ (0,2)^4 = 0,0016 \]
\[ (0,8)^{6} \approx 0,262144 \]
- Подставим эти значения обратно:
\[ P(4) = 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144 \]
Шаг 4: Вычисляем финальный результат
Теперь можно вычислить:
\[ P(4) \approx 210 \cdot 0,0016 \cdot 0,262144 \approx 210 \cdot 0,0004194304 \approx 0,0881 \]
Шаг 5: Ответ
Вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет приблизительно \( 0,0881 \) или 8,81%.
Таким образом, вы узнали, как использовать биномальное распределение для решения задач подобного рода. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
