Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, радиус основания которого равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.

Решим задачу по нахождению объема части шара, заключенной внутри цилиндра.

Шаг 1: Понимание формы и размеров

1. Шар имеет диаметр 30 см, следовательно, радиус шара \( R = \frac{30}{2} = 15 \) см.
2. Цилиндр имеет радиус основания \( r = 12 \) см.

Шаг 2: Построение окружности

Цилиндр имеет диаметр основания, который меньше диаметра шара. Это значит, что цилиндр проходит через шар и часть шара находится внутри цилиндра.

Шаг 3: Высота цилиндра

Для получения объема части шара, которая находится внутри цилиндра, нам нужно рассчитать высоту части шара, заключенной в цилиндре.

Цилиндр проходит через центр шара, и мы можем представить сечение этого цилиндра и шара в плоскости, содержащей ось цилиндра. В этой плоскости у шара будет круг радиуса 15 см.

Сначала находим расстояние от центра шара до основания цилиндра: радиус основания цилиндра равен 12 см. Поскольку шар симметричен, находясь вовнутри, высота, на которую цилиндр замыкается, будет равна:

\( h = R - r = 15 - 12 = 3 \, \text{см} \)

Шаг 4: Нахождение объема части шара

Объем части шара в цилиндре можно найти с помощью формулы для объема шара и при помощи соответствующих расчетов.

Объем полного шара вычисляется по формуле: \[ V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi R^3 \] В нашем случае: \[ V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi (15)^3 = \frac{4}{3} \pi (3375) = 4500 \pi \, \text{см}^3 \]

Однако, нас интересует объем части, заключенной в цилиндре. Чтобы найти его, используем разность между размером шара и цилиндра.

Объем части шара, заключенной в цилиндре, можно представить, как секцию шара выше основания цилиндра и выше уровня, где цилиндр начинает пересекаться с шаром.

Шаг 5: Применение формулы для объема сектора

Как только мы знаем, что весь этот объем мы можем определить через секцию, мы используем правильное интегрирование, чтобы получить: \[ V_{section} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h) \]

Где \( h \) - высота, на которую цилиндр входит в шар. Мы уже знаем, \( h = 3 \) см.

Подставляем значения: \[ V_{section} = \frac{1}{3} \pi (3^2) (3 \times 15 - 3) = \frac{1}{3} \pi (9) (45 - 3) = \frac{1}{3} \pi (9) (42) = \frac{1}{3} \pi (378) = 126 \pi \, \text{см}^3 \]

Ответ

Объем части шара, заключенной внутри цилиндра, равен \( 126 \pi \) см³, что примерно равно \( 395.84 \) см³ (если считать \(\pi \approx 3.14\)).

Таким образом, мы нашли объем части шара, заключенной внутри цилиндра, с пошаговым объяснением процесса решения.