Для нахождения площади прямоугольного треугольника используем формулу:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
где ( S ) — площадь треугольника, ( a ) и ( b ) — катеты.
В данной задаче гипотенуза треугольника равна 14, и один из катетов равен 4. Мы можем обозначить катеты как ( a = 4 ) и ( b ), оставляя ( b ) неизвестным. Для начала нам необходимо найти второй катет ( b ) с помощью теоремы Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где ( c ) — гипотенуза, ( a ) и ( b ) — катеты. Подставляем известные значения:
[
14^2 = 4^2 + b^2
]
Рассчитаем ( 14^2 ) и ( 4^2 ):
[
196 = 16 + b^2
]
Теперь вычтем 16 из обеих сторон уравнения:
[
196 - 16 = b^2
]
[
180 = b^2
]
Теперь находим ( b ), взяв квадратный корень из 180:
[
b = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}
]
Теперь у нас есть оба катета: ( a = 4 ) и ( b = 6\sqrt{5} ). Подставляем их в формулу для площади:
[
S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6\sqrt{5}
]
Выполним умножение:
[
S = \frac{1}{2} \times 24\sqrt{5}
]
[
S = 12\sqrt{5}
]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна ( 12\sqrt{5} ) квадратных единиц.
Если необходимо, можно получить приближенное значение:
[
\sqrt{5} \approx 2.236
]
[
12\sqrt{5} \approx 12 \times 2.236 = 26.832
]
Итак, площадь треугольника примерно равна 26.83 квадратных единиц.
