Чтобы найти скалярное произведение векторов A и B, можно воспользоваться формулой:
[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta)
]
где:
- (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) — скалярное произведение векторов A и B,
- (|\mathbf{A}|) и (|\mathbf{B}|) — длины векторов A и B соответственно,
- (\theta) — угол между векторами (в радианах или градусах).
Шаг 1: Определим длины векторов
Из условия задачи нам даны длины векторов A и B:
- (|\mathbf{A}| = 5\sqrt{7}),
- (|\mathbf{B}| = 4\sqrt{28}).
Шаг 2: Упростим длину вектора B
Сначала упростим длину вектора B:
[
\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \sqrt{7} = 2\sqrt{7}
]
Следовательно,
[
|\mathbf{B}| = 4\sqrt{28} = 4 \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}
]
Шаг 3: Определим угол между векторами
Угол между векторами (\theta) равен 120°.
Шаг 4: Найдем косинус угла
Теперь находясь и пользуясь значением угла, найдем (\cos(120°)):
[
\cos(120°) = -\frac{1}{2}
]
Шаг 5: Подставим все значения в формулу
Теперь подставим все известные значения в формулу для скалярного произведения:
[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (5\sqrt{7})(8\sqrt{7})\left(-\frac{1}{2}\right)
]
Шаг 6: Вычислим скалярное произведение
Теперь произведем расчеты:
[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 5 \cdot 8 \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
]
[
= 5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
]
[
= 40 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
]
[
= 280 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
]
[
= -140
]
Ответ
Скалярное произведение векторов A и B равно (-140).
