Длинные векторов A и B равны 5√7 и 4√28 а угол между ними равен 120 Найдите скалярное произведение

Чтобы найти скалярное произведение векторов A и B, можно воспользоваться формулой:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta) \]

где:

• \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) — скалярное произведение векторов A и B,
• \(|\mathbf{A}|\) и \(|\mathbf{B}|\) — длины векторов A и B соответственно,
• \(\theta\) — угол между векторами (в радианах или градусах).

Шаг 1: Определим длины векторов

Из условия задачи нам даны длины векторов A и B:

• \(|\mathbf{A}| = 5\sqrt{7}\),
• \(|\mathbf{B}| = 4\sqrt{28}\).

Шаг 2: Упростим длину вектора B

Сначала упростим длину вектора B:

\[ \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \sqrt{7} = 2\sqrt{7} \]

Следовательно,

\[ |\mathbf{B}| = 4\sqrt{28} = 4 \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7} \]

Шаг 3: Определим угол между векторами

Угол между векторами \(\theta\) равен 120°.

Шаг 4: Найдем косинус угла

Теперь находясь и пользуясь значением угла, найдем \(\cos(120°)\):

\[ \cos(120°) = -\frac{1}{2} \]

Шаг 5: Подставим все значения в формулу

Теперь подставим все известные значения в формулу для скалярного произведения:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (5\sqrt{7})(8\sqrt{7})\left(-\frac{1}{2}\right) \]

Шаг 6: Вычислим скалярное произведение

Теперь произведем расчеты:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 5 \cdot 8 \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = 5 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = 40 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = 280 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = -140 \]

Ответ

Скалярное произведение векторов A и B равно \(-140\).