x²(x+2)-x(x+1)²=5x+9
Чтобы решить данное уравнение \( x^2(x + 2) - x(x + 1)^2 = 5x + 9 \), разложим его по шагам.
Шаг 1: Упростим левую часть уравнения
Рассмотрим первый член:
\[
x^2(x + 2) = x^3 + 2x^2
\]
Рассмотрим второй член:
\[
x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x
\]
Теперь, подставим их в уравнение:
\[ x^3 + 2x^2 - (x^3 + 2x^2 + x) = 5x + 9 \]
Шаг 2: Упростим уравнение
Упростим левую часть: \[ x^3 + 2x^2 - x^3 - 2x^2 - x = 5x + 9 \] Сократим подобные слагаемые: \[ -x = 5x + 9 \]
Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону
Переносим \(5x\) и \(9\) на левую сторону, меняя знаки: \[ -x - 5x - 9 = 0 \] Соберем подобные слагаемые: \[ -6x - 9 = 0 \]
Шаг 4: Решим уравнение
Теперь переместим \(9\) на правую сторону: \[ -6x = 9 \] И разделим обе стороны на \(-6\): \[ x = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} \]
Шаг 5: Итог
Мы нашли решение уравнения: \[ x = -\frac{3}{2} \]
Проверка
Подставим \(x = -\frac{3}{2}\) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:
- Левые части:
- \( x^2(x + 2) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2\left(-\frac{3}{2} + 2\right) = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{8} \)
- \( x(x + 1)^2 = -\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2} + 1\right)^2 = -\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{8} \)
Итак, левая часть: \[ \frac{9}{8} - \left(-\frac{3}{8}\right) = \frac{9}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
- Правая часть: \[ 5x + 9 = 5 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 9 = -\frac{15}{2} + 9 = -\frac{15}{2} + \frac{18}{2} = \frac{3}{2} \]
Левая и правая части равны, значит решение найдено правильно.
Ответ: \( x = -\frac{3}{2} \)
