Для того чтобы найти значение (\sin \alpha), зная, что (\cos \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}) и угол (\alpha) расположен в IV четверти, мы воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
- Подставим известное значение (\cos \alpha) в соотношение:
[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)^2 = 1
]
- Вычислим (\cos^2 \alpha):
[
\cos^2 \alpha = \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)^2 = \frac{16 \cdot 5}{81} = \frac{80}{81}
]
- Подставим это значение в уравнение:
[
\sin^2 \alpha + \frac{80}{81} = 1
]
- Вычтем (\frac{80}{81}) из обеих сторон:
[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{80}{81}
]
- Переведем 1 в дробь с общим знаменателем:
[
1 = \frac{81}{81}
]
- Теперь у нас есть:
[
\sin^2 \alpha = \frac{81}{81} - \frac{80}{81} = \frac{1}{81}
]
- Теперь найдем (\sin \alpha), взяв корень из обеих сторон:
[
\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{81}} = \pm \frac{1}{9}
]
- Определим знак. Так как угол (\alpha) расположен в IV четверти, то (\sin \alpha) будет отрицательным:
[
\sin \alpha = -\frac{1}{9}
]
Таким образом, мы получили окончательный результат:
[
\sin \alpha = -\frac{1}{9}
]
