Задача Задача №2982362
А
А
Зная, что cos 𝛼 = 4√5/9 и 𝛼 расположен в IV четверти, найди sin 𝛼
Для того чтобы найти значение \(\sin \alpha\), зная, что \(\cos \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}\) и угол \(\alpha\) расположен в IV четверти, мы воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
- Подставим известное значение \(\cos \alpha\) в соотношение:
\[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)^2 = 1 \]
- Вычислим \(\cos^2 \alpha\):
\[ \cos^2 \alpha = \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)^2 = \frac{16 \cdot 5}{81} = \frac{80}{81} \]
- Подставим это значение в уравнение:
\[ \sin^2 \alpha + \frac{80}{81} = 1 \]
- Вычтем \(\frac{80}{81}\) из обеих сторон:
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{80}{81} \]
- Переведем 1 в дробь с общим знаменателем:
\[ 1 = \frac{81}{81} \]
- Теперь у нас есть:
\[ \sin^2 \alpha = \frac{81}{81} - \frac{80}{81} = \frac{1}{81} \]
- Теперь найдем \(\sin \alpha\), взяв корень из обеих сторон:
\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{81}} = \pm \frac{1}{9} \]
- Определим знак. Так как угол \(\alpha\) расположен в IV четверти, то \(\sin \alpha\) будет отрицательным:
\[ \sin \alpha = -\frac{1}{9} \]
Таким образом, мы получили окончательный результат:
\[ \sin \alpha = -\frac{1}{9} \]
