Давайте решим задачу по определению плотности материала объекта, который утонул в жидкости.
Дано:
- Вес объекта в воздухе: ( W = 9 \cdot W' ) (где ( W' ) — вес объекта в жидкости)
- Ускорение свободного падения: ( g = 10 , \text{м/с}^2 )
- Плотность жидкости: ( \rho_{ж} = 800 , \text{кг/м}^3 )
Цель:
Посчитать плотность материала объекта.
Обозначим:
- ( V ) — объем объекта (единицы: м³)
- ( \rho_{м} ) — плотность материала объекта (единицы: кг/м³)
Шаг 1: Ввод формул
Сначала введем несколько формул:
Вес в воздухе:
[
W = m \cdot g = \rho_{м} \cdot V \cdot g
]
Вес в жидкости:
[
W' = m' \cdot g = (\rho_{м} \cdot V - F_{выталкивания}) \cdot g
]
Здесь ( F_{выталкивания} ) — сила архимеда, равная весу вытесненной жидкости:
[
F_{выталкивания} = \rho_{ж} \cdot V \cdot g
]
Шаг 2: Выражаем вес в жидкости
Подставим ( F_{выталкивания} ) в формулу для веса в жидкости:
[
W' = (\rho_{м} \cdot V - \rho_{ж} \cdot V) \cdot g
]
[
W' = (\rho_{м} - \rho_{ж}) \cdot V \cdot g
]
Шаг 3: Подставляем отношения весов
Зная, что ( W = 9W' ), можем записать:
[
\rho_{м} \cdot V \cdot g = 9 \cdot ((\rho_{м} - \rho_{ж}) \cdot V \cdot g)
]
Шаг 4: Упрощаем уравнение
Упростим уравнение, деля обе части на ( V \cdot g ) (при условии, что ( V \neq 0 )):
[
\rho_{м} = 9 \cdot (\rho_{м} - \rho_{ж})
]
Шаг 5: Раскрываем скобки и собираем все члены
Раскроем скобки:
[
\rho_{м} = 9 \cdot \rho_{м} - 9 \cdot \rho_{ж}
]
Переносим ( 9 \cdot \rho_{м} ) в левую часть:
[
\rho_{м} - 9 \cdot \rho_{м} = - 9 \cdot \rho_{ж}
]
[
-8 \cdot \rho_{м} = -9 \cdot \rho_{ж}
]
Шаг 6: Изолируем плотность материала
[
8 \cdot \rho_{м} = 9 \cdot \rho_{ж}
]
[
\rho_{м} = \frac{9}{8} \cdot \rho_{ж}
]
Шаг 7: Подставляем значение плотности жидкости
Теперь подставим известную плотность жидкости:
[
\rho_{м} = \frac{9}{8} \cdot 800 , \text{кг/м}^3
]
[
\rho_{м} = 900 , \text{кг/м}^3
]
Ответ:
Плотность материала объекта составляет ( 900 , \text{кг/м}^3 ).
