Найдите вероятность того, что при семикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 5 раз. Ответ округлите до сотых.

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. ### 1. Определяем задачу Мы хотим узнать вероятность того, что при семикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 5 раз. Это можно решить с помощью биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное число испытаний (бросков кубика), два возможных результата для каждого испытания (выпадение 6 или не выпадение 6) и одинаковая вероятность для каждого броска. ### 2. Условия задачи - Обозначим событие "выпало 6" как успех. - Вероятность успеха при бросании одного кубика (то есть выпадения 6) равна \( p = \frac{1}{6} \). - Вероятность не успеха (т.е. выпадение чего-то другого) равна \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \). - Количество бросков \( n = 7 \). ### 3. Применяем формулу биномиального распределения Формула для вероятности получить ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент (число сочетаний), равный \( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \). #### Для нашего случая: - Нам нужно найти общую вероятность для \( k = 4 \) и \( k = 5 \). ### 4. Рассчитываем вероятность для \( k = 4 \) \[ P(X = 4) = C(7, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7-4} \] Сначала находим биномиальный коэффициент: \[ C(7, 4) = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \] Теперь подставляем в формулу: \[ P(X = 4) = 35 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \] Теперь вычисляем: \[ = 35 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{125}{216} = 35 \cdot \frac{125}{27648} = \frac{4375}{27648} \approx 0.158 \] ### 5. Рассчитываем вероятность для \( k = 5 \) \[ P(X = 5) = C(7, 5) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7-5} \] Снова вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(7, 5) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \] Подставляем: \[ P(X = 5) = 21 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \] Вычисляем: \[ = 21 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{25}{36} = 21 \cdot \frac{25}{279936} = \frac{525}{279936} \approx 0.00188 \] ### 6. Находим общую вероятность Теперь мы можем найти общую вероятность \( P(4 \leq X \leq 5) \): \[ P(4 \leq X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) \approx 0.158 + 0.00188 \approx 0.15988 \] ### 7. Окончательный ответ Округлим до сотых: \[ \text{Ответ: } 0.16 \] Таким образом, вероятность того, что при семикратном бросании игрального кубика число выпадений 6 очков составит от 4 до 5 раз, составляет 0.16 (округлено до сотых).