Для решения задачи, давай сначала разберём, что такое испытания Бернулли и как рассчитывается вероятность событий.
Испытание Бернулли — это эксперимент, у которого есть только два исхода: успех (обычно обозначается как 1) и неудача (обозначается как 0). Вероятность успеха обозначается как ( p ), а вероятность неудачи — ( q = 1 - p ).
В данной задаче:
- Вероятность успеха ( p = 0,2 )
- Вероятность неудачи ( q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 )
- Число испытаний ( n = 4 )
Мы хотим найти вероятность того, что хотя бы одно испытание окажется успешным. Для этого рассматриваем комплементарное событие, то есть событие, при котором не происходит ни одного успеха за все 4 испытания.
Шаг 1: Находим вероятность того, что не будет успеха во всех 4 испытаниях.
Чтобы не было успехов, нужно, чтобы во всех 4 испытаниях произошла неудача. Вероятность неудачи в одном испытании равна ( q = 0,8 ).
Таким образом, вероятность того, что не будет успеха в 4 испытаниях:
[
P(не,успехов) = q^n = q^4 = (0,8)^4
]
Шаг 2: Вычисляем ( (0,8)^4 )
Теперь посчитаем:
[
(0,8)^4 = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8
]
Вычислим поэтапно:
[
0,8 \times 0,8 = 0,64
]
[
0,64 \times 0,8 = 0,512
]
[
0,512 \times 0,8 = 0,4096
]
Таким образом, вероятность неудач за 4 испытания составляет ( P(не,успехов) \approx 0,4096 ).
Шаг 3: Находим вероятность того, что будет хотя бы один успех.
Вероятность того, что хотя бы одно испытание окажется успешным, будет равна ( 1 ) минус вероятность того, что успехов не будет:
[
P(хотя бы,один,успех) = 1 - P(не,успехов)
]
Следовательно,
[
P(хотя бы,один,успех) \approx 1 - 0,4096 = 0,5904
]
Итак, заключение:
Вероятность того, что в серии из 4 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0,2 будет хотя бы один успех, составляет приблизительно ( 0,5904 ), или 59,04%.
