Провели серию испытаний из 4 испытаний Бернулли. Найди вероятность наступления хотя бы одного успеха в серии испытаний, если вероятность успеха равна 0,2.
Для решения задачи, давай сначала разберём, что такое испытания Бернулли и как рассчитывается вероятность событий.
Испытание Бернулли — это эксперимент, у которого есть только два исхода: успех (обычно обозначается как 1) и неудача (обозначается как 0). Вероятность успеха обозначается как \( p \), а вероятность неудачи — \( q = 1 - p \).
В данной задаче:
- Вероятность успеха \( p = 0,2 \)
- Вероятность неудачи \( q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 \)
- Число испытаний \( n = 4 \)
Мы хотим найти вероятность того, что хотя бы одно испытание окажется успешным. Для этого рассматриваем комплементарное событие, то есть событие, при котором не происходит ни одного успеха за все 4 испытания.
Шаг 1: Находим вероятность того, что не будет успеха во всех 4 испытаниях.
Чтобы не было успехов, нужно, чтобы во всех 4 испытаниях произошла неудача. Вероятность неудачи в одном испытании равна \( q = 0,8 \).
Таким образом, вероятность того, что не будет успеха в 4 испытаниях:
\[ P(не\,успехов) = q^n = q^4 = (0,8)^4 \]
Шаг 2: Вычисляем \( (0,8)^4 \)
Теперь посчитаем:
\[ (0,8)^4 = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 \]
Вычислим поэтапно:
\[ 0,8 \times 0,8 = 0,64 \] \[ 0,64 \times 0,8 = 0,512 \] \[ 0,512 \times 0,8 = 0,4096 \]
Таким образом, вероятность неудач за 4 испытания составляет \( P(не\,успехов) \approx 0,4096 \).
Шаг 3: Находим вероятность того, что будет хотя бы один успех.
Вероятность того, что хотя бы одно испытание окажется успешным, будет равна \( 1 \) минус вероятность того, что успехов не будет:
\[ P(хотя бы\,один\,успех) = 1 - P(не\,успехов) \]
Следовательно,
\[ P(хотя бы\,один\,успех) \approx 1 - 0,4096 = 0,5904 \]
Итак, заключение:
Вероятность того, что в серии из 4 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0,2 будет хотя бы один успех, составляет приблизительно \( 0,5904 \), или 59,04%.
