Чтобы решить задачу, начнем с того, что в прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам. Один из углов — это прямой угол (90 градусов), а два других являются острыми углами, которые обозначим как α и β.
Согласно условию, один острый угол в 2 раза больше другого, то есть:
[
\beta = 2\alpha
]
С учетом того, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем записать уравнение для острых углов:
[
\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ
]
Подставим выражение для β:
[
\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ
]
Упростим уравнение:
[
3\alpha + 90^\circ = 180^\circ
]
Теперь вычтем 90 градусов из обеих частей уравнения:
[
3\alpha = 90^\circ
]
Разделим обе стороны на 3:
[
\alpha = 30^\circ
]
Теперь найдем β:
[
\beta = 2\alpha = 2 \times 30^\circ = 60^\circ
]
Теперь мы знаем углы нашего треугольника: 30°, 60° и 90°.
В прямоугольном треугольнике со сторонами, противолежащими углам 30° и 60°, существуют следующие соотношения:
- Сторона, противолежащая углу 30° (меньшая сторона), равна ( x ).
- Сторона, противолежащая углу 60° (большая сторона), равна ( x\sqrt{3} ).
- Гипотенуза (сторона, противолежащая углу 90°) равна ( 2x ).
В нашей задаче меньшая сторона (противолежащая углу 30°) равна 6 см. Таким образом, мы можем присвоить ( x = 6 ) см.
Теперь найдем большую сторону, которая противолежит углу 60°:
[
\text{Большая сторона} = x\sqrt{3} = 6\sqrt{3}
]
Чтобы вычислить значение ( 6\sqrt{3} ), можем воспользоваться приблизительным значением ( \sqrt{3} \approx 1.73 ):
[
6\sqrt{3} \approx 6 \times 1.73 \approx 10.38 \text{ см}
]
Таким образом, большая сторона равна:
[
\text{Большая сторона} \approx 10.38 \text{ см}
]
Ответ: Большая сторона прямоугольного треугольника равна ( 6\sqrt{3} ) см (примерно 10.38 см).
