На пол упала коробка, в которой было 20 20 пирожных. С вероятностью 0 ,42 0,42 пирожное уцелеет при падении. Чему равно стандартное отклонение числа уцелевших пирожных?

Чтобы найти стандартное отклонение числа уцелевших пирожных, мы используем свойства биномиального распределения, поскольку у нас есть фиксированное количество попыток (пирожных), вероятность успеха (уцелевшее пирожное) и мы рассматриваем независимые события.

1. Определим параметры биномиального распределения:

   • Обозначим:
     • \( n = 20 \) — общее количество пирожных,
     • \( p = 0.42 \) — вероятность, что одно пирожное уцелело.

2. Распределение: Число уцелевших пирожных \( X \) будет следовать биномиальному распределению \( X \sim B(n, p) \).

3. Формулы для математического ожидания и стандартного отклонения:

   • Математическое ожидание \( E(X) \) для биномиального распределения рассчитывается по формуле: \[ E(X) = n \cdot p \]
   • Стандартное отклонение \( \sigma \) рассчитывается по формуле: \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \]

4. Подставим значения:

   • Сначала вычислим математическое ожидание: \[ E(X) = 20 \cdot 0.42 = 8.4 \]
   • Теперь вычислим стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{20 \cdot 0.42 \cdot (1 - 0.42)} \]
   • Найдем \( 1 - 0.42 = 0.58 \): \[ \sigma = \sqrt{20 \cdot 0.42 \cdot 0.58} \]
   • Умножим: \[ 20 \cdot 0.42 \cdot 0.58 = 20 \cdot 0.2436 = 4.872 \]
   • Теперь найдём квадратный корень: \[ \sigma = \sqrt{4.872} \approx 2.21 \]

Таким образом, стандартное отклонение числа уцелевших пирожных составляет примерно 2.21.