На пол упала коробка, в которой было 20 20 пирожных. С вероятностью 0 ,42 0,42 пирожное уцелеет при падении. Чему равно стандартное отклонение числа уцелевших пирожных?

Чтобы найти стандартное отклонение числа уцелевших пирожных, мы используем свойства биномиального распределения, поскольку у нас есть фиксированное количество попыток (пирожных), вероятность успеха (уцелевшее пирожное) и мы рассматриваем независимые события. 1. **Определим параметры биномиального распределения:** - Обозначим: - \( n = 20 \) — общее количество пирожных, - \( p = 0.42 \) — вероятность, что одно пирожное уцелело. 2. **Распределение:** Число уцелевших пирожных \( X \) будет следовать биномиальному распределению \( X \sim B(n, p) \). 3. **Формулы для математического ожидания и стандартного отклонения:** - Математическое ожидание \( E(X) \) для биномиального распределения рассчитывается по формуле: \[ E(X) = n \cdot p \] - Стандартное отклонение \( \sigma \) рассчитывается по формуле: \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \] 4. **Подставим значения:** - Сначала вычислим математическое ожидание: \[ E(X) = 20 \cdot 0.42 = 8.4 \] - Теперь вычислим стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{20 \cdot 0.42 \cdot (1 - 0.42)} \] - Найдем \( 1 - 0.42 = 0.58 \): \[ \sigma = \sqrt{20 \cdot 0.42 \cdot 0.58} \] - Умножим: \[ 20 \cdot 0.42 \cdot 0.58 = 20 \cdot 0.2436 = 4.872 \] - Теперь найдём квадратный корень: \[ \sigma = \sqrt{4.872} \approx 2.21 \] Таким образом, стандартное отклонение числа уцелевших пирожных составляет примерно 2.21.