Давайте разберем задачу пошагово.
1. Анализ условий задачи
У нас есть товарный поезд, который должен преодолеть расстояние в 300 км. На половине пути, то есть после 150 км, поезд остановился на 30 минут. После этой остановки машинист увеличил скорость на 10 км/ч, чтобы наверстать потерянное время.
Мы хотим узнать, с какой скоростью поезд шел до остановки.
2. Обозначим переменные
Пусть скорость поезда до остановки равна ( v ) (в км/ч).
3. Время в пути
Время, затраченное на первую половину пути:
Расстояние = 150 км.
Скорость = ( v ) км/ч.
Формула для расчета времени:
[
t_1 = \frac{d}{v} \
t_1 = \frac{150}{v}
]
Время на остановку:
Поезд стоял 30 минут, что в часах составляет:
[
t_{ост} = 0.5 \text{ ч}
]
Время во второй половине пути:
Расстояние = 150 км.
Скорость во второй половине пути = ( v + 10 ) км/ч.
Время во второй половине пути:
[
t_2 = \frac{150}{v + 10}
]
4. Общее время в пути
Суммарное время в пути у поезд составляет:
[
t_{общ} = t_1 + t_{ост} + t_2
]
Подставим выражения для времени:
[
t_{общ} = \frac{150}{v} + 0.5 + \frac{150}{v + 10}
]
5. Оценка времени
Теперь важно понять, что если бы поезд не останавливался, то время в пути без остановки составило бы:
[
t_{план} = \frac{300}{v}
]
6. Составим уравнение
Поскольку после остановки поезд должен был проехать тот же путь за то же время, имеем:
[
\frac{150}{v} + 0.5 + \frac{150}{v + 10} = \frac{300}{v}
]
7. Упрощение уравнения
Умножим уравнение на ( v(v + 10) ) для устранения дробей:
[
150(v + 10) + 0.5v(v + 10) + 150v = 300(v + 10)
]
Упрощаем:
[
150v + 1500 + 0.5v^2 + 5v + 150v = 300v + 3000
]
[
0.5v^2 + 305v + 1500 - 300v - 3000 = 0
]
[
0.5v^2 + 5v - 1500 = 0
]
8. Решим квадратное уравнение
Умножим всё на 2 для удобства:
[
v^2 + 10v - 3000 = 0
]
Теперь применим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * (-3000) = 100 + 12000 = 12100
]
[
\sqrt{D} = 110
]
Итак, найдем корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 110}{2}
]
9. Найдем корни
[
v_1 = \frac{100}{2} = 50 \
v_2 = \frac{-120}{2} \ (\text{негативная скорость, отбрасываем})
]
10. Ответ
Скорость поезда до остановки составляет 50 км/ч.
