р

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства геометрической прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии через \( b_1 \) и знаменатель прогрессии через \( q \). Таким образом, второй член будет равен \( b_2 = b_1 \cdot q \), а третий — \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 \).

Даны два уравнения:

1. Сумма первого и второго членов равна 48:
   \[ b_1 + b_1 \cdot q = 48 \]

2. Сумма второго и третьего членов равна 144:
   \[ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 144 \]

Решим сначала первое уравнение. Вынесем \( b_1 \) за скобку:

\[ b_1(1 + q) = 48 \quad \Rightarrow \quad b_1 = \frac{48}{1 + q} \]

Теперь подставим \( b_1 \) из первого уравнения во второе уравнение:

\[ \left(\frac{48}{1 + q}\right) q + \left(\frac{48}{1 + q}\right) q^2 = 144 \]

Упростим:

\[ \frac{48q + 48q^2}{1 + q} = 144 \]

Умножим обе стороны на \( 1 + q \):

\[ 48q + 48q^2 = 144(1 + q) \]

Раскроем скобки:

\[ 48q + 48q^2 = 144 + 144q \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 48q^2 + 48q - 144q - 144 = 0 \]

Упростим:

\[ 48q^2 - 96q - 144 = 0 \]

Разделим уравнение на 48 для упрощения:

\[ q^2 - 2q - 3 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Найдем дискриминант (\( D \)):

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни уравнения:

\[ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Получаем два решения:

1. \( q = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( q = \frac{-2}{2} = -1 \)

Посмотрим на оба варианта:

Вариант 1: \( q = 3 \)

\[ b_1 = \frac{48}{1 + 3} = 12 \] \[ b_2 = b_1 \cdot q = 12 \cdot 3 = 36 \] \[ b_3 = b_2 \cdot q = 36 \cdot 3 = 108 \]

Проверка:

\[ b_1 + b_2 = 12 + 36 = 48 \quad \text{(верно)} \] \[ b_2 + b_3 = 36 + 108 = 144 \quad \text{(верно)} \]

Вариант 2: \( q = -1 \)

\[ b_1 = \frac{48}{1 - 1} \quad \text{(неопределено)} \]

Таким образом, подходящее решение:

\( b_1 = 12 \), \( b_2 = 36 \), \( b_3 = 108 \).