Р

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии через \( b_1 \) и знаменатель прогрессии через \( q \). Таким образом, второй член будет равен \( b_2 = b_1 \cdot q \), а третий — \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 \). Даны два уравнения: 1. Сумма первого и второго членов равна 48: \[ b_1 + b_1 \cdot q = 48 \] 2. Сумма второго и третьего членов равна 144: \[ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 144 \] Решим сначала первое уравнение. Вынесем \( b_1 \) за скобку: \[ b_1(1 + q) = 48 \quad \Rightarrow \quad b_1 = \frac{48}{1 + q} \] Теперь подставим \( b_1 \) из первого уравнения во второе уравнение: \[ \left(\frac{48}{1 + q}\right) q + \left(\frac{48}{1 + q}\right) q^2 = 144 \] Упростим: \[ \frac{48q + 48q^2}{1 + q} = 144 \] Умножим обе стороны на \( 1 + q \): \[ 48q + 48q^2 = 144(1 + q) \] Раскроем скобки: \[ 48q + 48q^2 = 144 + 144q \] Перенесем все в одну сторону: \[ 48q^2 + 48q - 144q - 144 = 0 \] Упростим: \[ 48q^2 - 96q - 144 = 0 \] Разделим уравнение на 48 для упрощения: \[ q^2 - 2q - 3 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Найдем дискриминант (\( D \)): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни уравнения: \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Получаем два решения: 1. \( q = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( q = \frac{-2}{2} = -1 \) Посмотрим на оба варианта: ### Вариант 1: \( q = 3 \) \[ b_1 = \frac{48}{1 + 3} = 12 \] \[ b_2 = b_1 \cdot q = 12 \cdot 3 = 36 \] \[ b_3 = b_2 \cdot q = 36 \cdot 3 = 108 \] ### Проверка: \[ b_1 + b_2 = 12 + 36 = 48 \quad \text{(верно)} \] \[ b_2 + b_3 = 36 + 108 = 144 \quad \text{(верно)} \] ### Вариант 2: \( q = -1 \) \[ b_1 = \frac{48}{1 - 1} \quad \text{(неопределено)} \] Таким образом, подходящее решение: \( b_1 = 12 \), \( b_2 = 36 \), \( b_3 = 108 \).