Для решения задачи найдем меньший катет прямоугольного треугольника, имея данную гипотенузу и один из углов. Давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить.
Шаг 1: Определяем элементы треугольника
- Гипотенуза — это сторона треугольника, противолежащая прямому углу. В нашем случае [ c = 54 ] (гипотенуза).
- Угол — у нас есть угол в 60°. Обозначим это как [ A = 60^\circ ].
- Катеты — в прямоугольном треугольнике есть два катета: меньший (обозначим его как ( a )) и больший (обозначим его как ( b )).
Шаг 2: Используем тригонометрические функции
В прямоугольном треугольнике для нахождения катетов можно использовать синус и косинус угла.
- Синус угла (в нашем случае 60°) определяет отношение противолежащего катета к гипотенузе:
[
\sin(A) = \frac{a}{c}
]
- Косинус угла (60°) определяет отношение прилежащего катета к гипотенузе:
[
\cos(A) = \frac{b}{c}
]
Шаг 3: Вычисляем меньший катет
Поскольку 60° — это угол, не противолежащий меньшему катету, то меньший катет будет противолежащим углу в 30° (так как в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, а один угол уже 90°, и другой 60°, значит, третий угол — 30°).
Из тригонометрии знаем, что:
[
\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
]
Следовательно, можем найти меньший катет:
[
\sin(30^\circ) = \frac{a}{54}
]
Теперь подставим и решим уравнение:
[
\frac{1}{2} = \frac{a}{54}
]
Умножим обе стороны на 54:
[
a = 54 \cdot \frac{1}{2} = 27
]
Ответ
Меньший катет прямоугольного треугольника равен 27.
Таким образом, мы использовали свойства тригонометрических функций для решения задачи и нашли нужный катет. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
