Решить

Для решения задачи о геометрической прогрессии, давайте обозначим: - \( b_1 \) — первый член прогрессии, - \( b_2 \) — второй член прогрессии, - \( b_3 \) — третий член прогрессии, - \( q \) — знаменатель прогрессии. По условию задачи известно: 1. \( b_1 + b_2 = 48 \) 2. \( b_2 + b_3 = 144 \) В геометрической прогрессии каждый следующий член выражается через предыдущий: - \( b_2 = b_1 \cdot q \) - \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 \) Теперь подставим эти выражения в данные уравнения: 1. \( b_1 + b_1 \cdot q = 48 \) 2. \( b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 144 \) Первое уравнение можно упростить: \[ b_1(1 + q) = 48 \] Отсюда найдем \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{48}{1 + q} \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 144 \] Подставляем выражение для \( b_1 \): \[ \frac{48}{1+q} \cdot q + \frac{48}{1+q} \cdot q^2 = 144 \] Умножим всё уравнение на \( (1 + q) \) чтобы избавиться от знаменателя: \[ 48q + 48q^2 = 144(1 + q) \] Упростим уравнение: \[ 48q + 48q^2 = 144 + 144q \] Перенесем все слагаемые влево: \[ 48q + 48q^2 - 144 - 144q = 0 \] Соберем подобные члены: \[ 48q^2 - 96q - 144 = 0 \] Сократим на 48: \[ q^2 - 2q - 3 = 0 \] Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни уравнения: \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ q = \frac{2 \pm 4}{2} \] Получаем два решения: 1. \( q = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( q = \frac{-2}{2} = -1 \) Рассмотрим оба случая: 1. **Для \( q = 3 \):** \[ b_1 = \frac{48}{1 + 3} = \frac{48}{4} = 12 \] Тогда: - \( b_1 = 12 \) - \( b_2 = 12 \cdot 3 = 36 \) - \( b_3 = 36 \cdot 3 = 108 \) 2. **Для \( q = -1 \):** \[ b_1 = \frac{48}{1 - 1} \] — невозможно деление на ноль. Этот вариант отбрасываем. Таким образом, первые три члена прогрессии: \( b_1 = 12 \), \( b_2 = 36 \), \( b_3 = 108 \).