решить
Для решения задачи о геометрической прогрессии, давайте обозначим:
- \( b_1 \) — первый член прогрессии,
- \( b_2 \) — второй член прогрессии,
- \( b_3 \) — третий член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии.
По условию задачи известно:
- \( b_1 + b_2 = 48 \)
- \( b_2 + b_3 = 144 \)
В геометрической прогрессии каждый следующий член выражается через предыдущий:
- \( b_2 = b_1 \cdot q \)
- \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 \)
Теперь подставим эти выражения в данные уравнения:
- \( b_1 + b_1 \cdot q = 48 \)
- \( b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 144 \)
Первое уравнение можно упростить:
\[ b_1(1 + q) = 48 \]
Отсюда найдем \( b_1 \):
\[ b_1 = \frac{48}{1 + q} \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 144 \]
Подставляем выражение для \( b_1 \):
\[ \frac{48}{1+q} \cdot q + \frac{48}{1+q} \cdot q^2 = 144 \]
Умножим всё уравнение на \( (1 + q) \) чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 48q + 48q^2 = 144(1 + q) \]
Упростим уравнение:
\[ 48q + 48q^2 = 144 + 144q \]
Перенесем все слагаемые влево:
\[ 48q + 48q^2 - 144 - 144q = 0 \]
Соберем подобные члены:
\[ 48q^2 - 96q - 144 = 0 \]
Сократим на 48:
\[ q^2 - 2q - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение методом дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Корни уравнения:
\[ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ q = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Получаем два решения:
- \( q = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( q = \frac{-2}{2} = -1 \)
Рассмотрим оба случая:
- Для \( q = 3 \):
\[ b_1 = \frac{48}{1 + 3} = \frac{48}{4} = 12 \]
Тогда:
- \( b_1 = 12 \)
- \( b_2 = 12 \cdot 3 = 36 \)
- \( b_3 = 36 \cdot 3 = 108 \)
- Для \( q = -1 \):
\[ b_1 = \frac{48}{1 - 1} \] — невозможно деление на ноль. Этот вариант отбрасываем.
Таким образом, первые три члена прогрессии: \( b_1 = 12 \), \( b_2 = 36 \), \( b_3 = 108 \).
