1/x+6 + 4/x-6=3/6-x - 1

Чтобы решить уравнение

\[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = \frac{3}{6 - x} - 1, \]

давайте сначала упростим правую часть уравнения. На этом этапе мы предполагаем, что у нас есть общее знание о дробях и основных алгебраических операциях.

Шаг 1: Упрощаем правую часть

Заметим, что у нас есть дробь \(\frac{3}{6 - x}\), которую можно переписать, чтобы сделать вычисления проще:

\[ \frac{3}{6 - x} = -\frac{3}{x - 6}. \]

Следовательно, уравнение становится:

\[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = -\frac{3}{x - 6} - 1. \]

Шаг 2: Упрощаем уравнение

Теперь приводим правую часть к общему знаменателю. Поскольку у нас есть два члена \(-\frac{3}{x - 6}\) и \(-1\), нам нужно привести \(-1\) к общему знаменателю, который здесь будет \(x - 6\):

\[ -1 = -\frac{x - 6}{x - 6} = -\frac{x - 6}{x - 6}. \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = -\frac{3 + (x - 6)}{x - 6} = -\frac{3 + x - 6}{x - 6} = -\frac{x - 3}{x - 6}. \]

Шаг 3: Переписываем уравнение

Теперь у нас есть:

\[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = -\frac{x - 3}{x - 6}. \]

Шаг 4: Умножим обе части на общий знаменатель

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на общий знаменатель \((x + 6)(x - 6)\):

\[ (x - 6) + 4(x + 6) = -(x - 3)(x + 6). \]

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскроем скобки:

Левая часть:

\[ x - 6 + 4x + 24 = 5x + 18. \]

Правая часть:

\[ -(x - 3)(x + 6) = -[x^2 + 6x - 3x - 18] = -[x^2 + 3x - 18] = -x^2 - 3x + 18. \]

Теперь у нас уравнение:

\[ 5x + 18 = -x^2 - 3x + 18. \]

Шаг 6: Приводим уравнение к стандартному виду

Переносим все на одну сторону:

\[ x^2 + 5x + 3x + 18 - 18 = 0, \]

или

\[ x^2 + 8x = 0. \]

Шаг 7: Факторизуем уравнение

Можно вынести \(x\) за скобки:

\[ x(x + 8) = 0. \]

Шаг 8: Находим корни

Теперь находим значения \(x\):

1. \(x = 0\)
2. \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\)

Шаг 9: Проверяем корни

Теперь нужно проверить, не приведут ли найденные корни к делению на ноль в изначальном уравнении:

1. Для \(x = 0\):

   • \(\frac{1}{0 + 6} + \frac{4}{0 - 6} = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\)
   • Справа \( -1 = -1\).
   • Значит, \(x = 0\) - корректное решение.

2. Для \(x = -8\):

   • \(\frac{1}{-8 + 6} + \frac{4}{-8 - 6} = \frac{1}{-2} - \frac{4}{14} = -\frac{1}{2} - \frac{2}{7}\)
   • При этом внутри дробей будет деление на ноль, то есть это решение исключено.

Шаг 10: Итог

Таким образом, единственным решением уравнения является:

\[ \boxed{0}. \]

Это полное решение уравнения с пошаговыми объяснениями!