1/x+6 + 4/x-6=3/6-x - 1

Чтобы решить уравнение \[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = \frac{3}{6 - x} - 1, \] давайте сначала упростим правую часть уравнения. На этом этапе мы предполагаем, что у нас есть общее знание о дробях и основных алгебраических операциях. ### Шаг 1: Упрощаем правую часть Заметим, что у нас есть дробь \(\frac{3}{6 - x}\), которую можно переписать, чтобы сделать вычисления проще: \[ \frac{3}{6 - x} = -\frac{3}{x - 6}. \] Следовательно, уравнение становится: \[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = -\frac{3}{x - 6} - 1. \] ### Шаг 2: Упрощаем уравнение Теперь приводим правую часть к общему знаменателю. Поскольку у нас есть два члена \(-\frac{3}{x - 6}\) и \(-1\), нам нужно привести \(-1\) к общему знаменателю, который здесь будет \(x - 6\): \[ -1 = -\frac{x - 6}{x - 6} = -\frac{x - 6}{x - 6}. \] Теперь у нас есть: \[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = -\frac{3 + (x - 6)}{x - 6} = -\frac{3 + x - 6}{x - 6} = -\frac{x - 3}{x - 6}. \] ### Шаг 3: Переписываем уравнение Теперь у нас есть: \[ \frac{1}{x + 6} + \frac{4}{x - 6} = -\frac{x - 3}{x - 6}. \] ### Шаг 4: Умножим обе части на общий знаменатель Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на общий знаменатель \((x + 6)(x - 6)\): \[ (x - 6) + 4(x + 6) = -(x - 3)(x + 6). \] ### Шаг 5: Раскроем скобки Раскроем скобки: Левая часть: \[ x - 6 + 4x + 24 = 5x + 18. \] Правая часть: \[ -(x - 3)(x + 6) = -[x^2 + 6x - 3x - 18] = -[x^2 + 3x - 18] = -x^2 - 3x + 18. \] Теперь у нас уравнение: \[ 5x + 18 = -x^2 - 3x + 18. \] ### Шаг 6: Приводим уравнение к стандартному виду Переносим все на одну сторону: \[ x^2 + 5x + 3x + 18 - 18 = 0, \] или \[ x^2 + 8x = 0. \] ### Шаг 7: Факторизуем уравнение Можно вынести \(x\) за скобки: \[ x(x + 8) = 0. \] ### Шаг 8: Находим корни Теперь находим значения \(x\): 1. \(x = 0\) 2. \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\) ### Шаг 9: Проверяем корни Теперь нужно проверить, не приведут ли найденные корни к делению на ноль в изначальном уравнении: 1. Для \(x = 0\): - \(\frac{1}{0 + 6} + \frac{4}{0 - 6} = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\) - Справа \( -1 = -1\). - Значит, \(x = 0\) - корректное решение. 2. Для \(x = -8\): - \(\frac{1}{-8 + 6} + \frac{4}{-8 - 6} = \frac{1}{-2} - \frac{4}{14} = -\frac{1}{2} - \frac{2}{7}\) - При этом внутри дробей будет деление на ноль, то есть это решение исключено. ### Шаг 10: Итог Таким образом, единственным решением уравнения является: \[ \boxed{0}. \] Это полное решение уравнения с пошаговыми объяснениями!