1°. Параллельные прямые а и с пересечены прямой b, ∠1 = 43°. Найдите ∠2 (рис. 45). 2°. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ — основание) угол А при основании АС равен 35°.…

Давайте решим каждую задачу по порядку.

Задача 1

Условие: Параллельные прямые \(a\) и \(c\) пересечены прямой \(b\), угол \(\angle 1 = 43^\circ\). Найдите \(\angle 2\).

Решение: Когда две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образуются несколько пар углов: соответствующие углы, альтернативные внутренние уголы и др.

1. У нас есть два параллельных прямых \(a\) и \(c\) и пересекающая прямая \(b\).
2. Если \(\angle 1 = 43^\circ\), то, согласно свойству соответствующих углов, \(\angle 2\) (который находится на параллельной прямой и соответствует углу 1) также равен \(43^\circ\).

Таким образом, ответ:
\(\angle 2 = 43^\circ\).

Задача 2

Условие: В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (основание \(AB\)) угол \(A\) при основании \(AC\) равен \(35^\circ\). Найдите углы при вершинах \(B\) и \(C\).

Решение: В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны.

1. Обозначим углы:

   • Угол \(A = 35^\circ\) (угол, не равный основанию),
   • Угол \(B = \angle C\) (углы при основании, которые равны).

2. Сумма всех углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Подставим \(A\) и \(B\): \[ 35^\circ + 2\angle B = 180^\circ \] Выразим угол \(B\): \[ 2\angle B = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ \\ \angle B = \frac{145^\circ}{2} = 72.5^\circ \]

Таким образом:
\(\angle B = 72.5^\circ\), \(\angle C = 72.5^\circ\).

Задача 3

Условие: В треугольнике \(ABC\) углы \(1\), \(2\), \(3\) — внутренние, а углы \(4\), \(5\), \(6\) — внешние. а) Могут ли \(\angle 1\) и \(\angle 3\) быть прямым и тупым? б) \(\angle 6 = 120^\circ\). \(\angle 1 - \angle 2 = 30^\circ\). Найдите углы \(1\), \(2\), \(3\).

Часть а): Если \(\angle 1\) — прямой (90°), то сумма углов \(2\) и \(3\) должна составлять: \[ 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] Это возможно только при условии, что один из оставшихся углов (угол \(2\) или \(\angle 3\)) будет острым (меньше 90°), а другой — тупым (больше 90°), что подразумевает, что только один из углов может быть тупым. Таким образом, это возможно.

Ответ: Да, могут.

Часть б): Сначала вспомним, какие свойства имеют внешние и внутренние углы треугольника:

• Внешний угол треугольника равен сумме двух противолежащих внутренних углов.

Зная:

• \(\angle 6 = 120^\circ\), и так как он является внешним по отношению к углу \(2\), мы можем записать: \[ \angle 6 = \angle 1 + \angle 2 \] Подставим значение \(\angle 6\): \[ 120^\circ = \angle 1 + \angle 2 \]

Из условия \(\angle 1 - \angle 2 = 30^\circ\): \[ \angle 1 = \angle 2 + 30^\circ \]

Теперь можем подставить \(\angle 1\) во второе уравнение: \[ 120^\circ = (\angle 2 + 30^\circ) + \angle 2 \\ 120^\circ = 2\angle 2 + 30^\circ \\ 90^\circ = 2\angle 2 \\ \angle 2 = 45^\circ \]

Теперь найдем \(\angle 1\): \[ \angle 1 = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ \]

Наконец, \(\angle 3\) можно найти из суммы углов треугольника: \[ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ \\ 75^\circ + 45^\circ + \angle 3 = 180^\circ \\ \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

Итак, окончательные результаты:

• \(\angle 1 = 75^\circ\)
• \(\angle 2 = 45^\circ\)
• \(\angle 3 = 60^\circ\)