Реши

Для решения этой задачи нужно проанализировать функции и построить график.

1. Построение графика функции

Функция задана кусочно:

1. \( y = -x^2 \), если \( |x| \leq 1 \)

   Это часть параболы, перевернутая и расположенная между \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

2. \( y = |x| - 2 \), если \( |x| > 1 \)

   В этой части функция представляет собой две линии:

   • \( y = x - 2 \), для \( x > 1 \)
   • \( y = -x - 2 \), для \( x < -1 \)

2. Соединение промежутков и определение точек пересечения

• \( |x| \leq 1 \): Здесь график — это перевернутая парабола с вершиной в точке (0, 0) и конечными точками в (-1, -1) и (1, -1).

• \( |x| > 1 \): Это линейные функции:

  • \( y = x - 2 \) проходит через (2, 0)
  • \( y = -x - 2 \) проходит через (-2, 0)

3. Определение значений \( m \)

График функции \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Чтобы эта линия имела ровно три общие точки с графиком, она должна:

• Касаться вершины параболы в одной точке.
• Пересекать линейные части графика в двух точках.

Парабола имеет вершину в точке (0, 0), поэтому одна из точек пересечения может быть там. Линейные части дают пересечения, когда:

• \( y = x - 2 \Rightarrow m = x - 2 \)
• \( y = -x - 2 \Rightarrow m = -x - 2 \)

Решение:

Рассмотрим \( m = -1 \):

• Первая часть (парабола) проходит через точку с ординатой -1 при \( x = \pm 1 \).
• Линейные части: \( y = x - 2 \) и \( y = -x - 2 \) также пересекают горизонтальную прямую \( y = -1 \) еще в двух точках на \( x > 1 \) и \( x < -1 \).

Таким образом, линия \( y = -1 \) пересекает график функции ровно в трех точках.

Ответ:

Значение \( m \), при котором график имеет ровно три общие точки, равно \( m = -1 \).