49x3 + 14x2 + x = 0; 3) x3 − 5x2 − x + 5 = 0.

Для решения данной системы уравнений, мы начнем с первого уравнения:

1. Уравнение: 49x³ + 14x² + x = 0

Первым делом выделим общий множитель:

\[ x(49x² + 14x + 1) = 0 \]

Это уравнение имеет два множителя: \( x = 0 \) и \( 49x² + 14x + 1 = 0 \).

Теперь решить первое уравнение \( x = 0 \):

1. Первый корень:
   \( x_1 = 0 \)

Теперь решим второй множитель \( 49x² + 14x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта \( D \) выглядит так:

\[ D = b² - 4ac \]

где \( a = 49 \), \( b = 14 \), \( c = 1 \).

Подставим значения:

\[ D = 14² - 4 \cdot 49 \cdot 1 = 196 - 196 = 0 \]

Поскольку дискриминант равен 0, у нас есть один двойной корень.

Теперь находим корень по формуле:

\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-14}{2 \cdot 49} = \frac{-14}{98} = \frac{-1}{7} \]

2. Второй корень:
   \( x_2 = -\frac{1}{7} \)

Таким образом, для первого уравнения мы получили два корня:

• \( x_1 = 0 \)
• \( x_2 = -\frac{1}{7} \)

2. Уравнение: \( x³ − 5x² − x + 5 = 0 \)

Для нахождения корней можно использовать метод подбора. Проверим значение \( x = 1 \):

\[ 1³ - 5 \cdot 1² - 1 + 5 = 1 - 5 - 1 + 5 = 0 \]

Следовательно, \( x = 1 \) является корнем.

Разделим многочлен \( x³ - 5x² - x + 5 \) на \( x - 1 \) с помощью синтетического деления:

1 |  1  -5  -1  5
  |      1  -4 -5
  -----------------
    1  -4  -5  0

Привязав одну из строк, мы получили:

\[ x² - 4x - 5 \]

Теперь это уравнение можно решить отдельно. Оно раскладывается на множители:

\[ (x - 5)(x + 1) = 0 \]

Таким образом, корни:

• \( x = 5 \)
• \( x = -1 \)

В итоге для второго уравнения мы нашли три корня:

• \( x_3 = 1 \)
• \( x_4 = 5 \)
• \( x_5 = -1 \)

Итог:
Мы нашли корни для обоих уравнений:

1. Для \( 49x³ + 14x² + x = 0 \) корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -\frac{1}{7} \).
2. Для \( x³ - 5x² - x + 5 = 0 \) корни: \( x_3 = 1 \), \( x_4 = 5 \), \( x_5 = -1 \).