Чтобы найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии, необходимо сначала определить общий множитель прогрессии (q) и первый член (b1). У нас есть данные:
- ( b_1 = -0.125 )
- ( b_6 = 128 )
Формула n-го члена геометрической прогрессии выражается как:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Подставим наши данные для ( n = 6 ):
[
b_6 = b_1 \cdot q^{5}
]
Заместим ( b_1 ):
[
128 = -0.125 \cdot q^{5}
]
Теперь решим это уравнение. Сначала избавимся от отрицательного числа и перемножим:
[
q^5 = \frac{128}{-0.125}
]
Чтобы упростить ( \frac{128}{-0.125} ), мы можем преобразовать дробь:
[
-0.125 = -\frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{128}{-0.125} = 128 \cdot -8 = -1024
]
Теперь у нас есть:
[
q^5 = -1024
]
Так как мы ищем положительный q, мы можем взять модуль:
[
q^5 = 1024
]
Теперь извлечем корень пятой степени:
[
q = 1024^{\frac{1}{5}} = 4
]
Теперь, зная ( b_1 ) и ( q ), можем найти сумму первых шести членов. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Для шести первых членов (где n = 6):
[
S_6 = -0.125 \cdot \frac{1 - 4^6}{1 - 4}
]
Сначала вычислим ( 4^6 ):
[
4^6 = 4096
]
Теперь подставим это значение в формулу суммы:
[
S_6 = -0.125 \cdot \frac{1 - 4096}{1 - 4} = -0.125 \cdot \frac{-4095}{-3}
]
Упрощаем дробь:
[
S_6 = -0.125 \cdot \frac{4095}{3}
]
Теперь вычислим это значение:
[
\frac{4095}{3} = 1365
]
Итак, завершаем вычисления:
[
S_6 = -0.125 \cdot 1365 = -170.625
]
Таким образом, сумма шести первых членов геометрической прогрессии будет равна:
[
\boxed{-170.625}
]
