Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (Вл), если b, = -0,125, b6 = 128 n 9= -4.
Чтобы найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии, давайте сначала разберемся с тем, что такое геометрическая прогрессия.
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии (q).
Формула для общего члена геометрической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \] где:
- \( a_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель,
- \( n \) — номер члена.
Дано
- \( b_1 = -0.125 \)
- \( b_6 = 128 \)
Финальные шаги для решения
Найти знаменатель прогрессии (q): Мы можем использовать формулу для \( b_6 \): \[ b_6 = b_1 \cdot q^{(6-1)} \] Подставим известные значения: \[ 128 = -0.125 \cdot q^5 \] Чтобы найти \( q^5 \), сначала разделим обе стороны на -0.125: \[ q^5 = \frac{128}{-0.125} \] Теперь посчитаем: \[ \frac{128}{-0.125} = 128 \cdot (-8) = -1024 \]
Теперь найдем q: \[ q = (-1024)^{1/5} = -4 \]
Теперь найдем первый член (b1): У нас уже есть значение \( b_1 = -0.125 \).
Теперь найдем сумму первых шести членов (S6): Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Подставим значения для 6 членов: \[ S_6 = -0.125 \cdot \frac{1 - (-4)^6}{1 - (-4)} \]
Найдем \( (-4)^6 \): \[ (-4)^6 = 4096 \] Подставляем: \[ S_6 = -0.125 \cdot \frac{1 - 4096}{1 + 4} \] Определяем: \[ = -0.125 \cdot \frac{-4095}{5} \] \[ = -0.125 \cdot -819 \] \[ = 102.375 \]
Ответ
Сумма шести первых членов геометрической прогрессии равна 102.375.
Таким образом, мы нашли не только сумму, но и разобрали, как она была получена шаг за шагом. Если есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений — не стесняйтесь спрашивать!
