На уроке ментальной арифметики учительница записала некоторое число на доске. Ученик Вова вычел из этого числа сумму его цифр и тоже записал результат на доске. У нового числа Ира стёрла одну цифру. В итоге на доске осталось число  528. Какую цифру стёрла Ира, если известно, что исходное число было четырёхзначным?

Давайте подробно разберем задачу. 1. Обозначим исходное четырёхзначное число как \( N \). Это число можно представить в виде: \[ N = 1000a + 100b + 10c + d \] где \( a, b, c, d \) — это его цифры, а \( a \neq 0 \) (поскольку число четырёхзначное). 2. Сумма цифр числа \( N \) равна: \[ S = a + b + c + d \] 3. Ученик Вова вычел из исходного числа сумму его цифр: \[ M = N - S = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) \] Упростим выражение: \[ M = 999a + 99b + 9c \] 4. После этого Ира стерла одну цифру из числа \( M \), и в итоге на доске осталось число 528. Так как мы ищем какую цифру могла стёрть Ира, рассмотрим возможные случаи. 5. Поскольку после стирания цифры мы получили 528, то возможные варианты чисел \( M \) можно получить следующим образом: - Добавим каждую цифру от 0 до 9 к числу 528: - Если стёрта 0, то \( M = 5280 \) - Если стёрта 1, то \( M = 5281 \) - Если стёрта 2, то \( M = 5282 \) - Если стёрта 3, то \( M = 5283 \) - Если стёрта 4, то \( M = 5284 \) - Если стёрта 5, то \( M = 5285 \) - Если стёрта 6, то \( M = 5286 \) - Если стёрта 7, то \( M = 5287 \) - Если стёрта 8, то \( M = 5288 \) - Если стёрта 9, то \( M = 5289 \) 6. Теперь, чтобы найти, какая цифра была стёрта, нам нужно проверить, является ли каждое из чисел \( M \) делущим на 9 (поскольку \( M \) имеет вид \( 999a + 99b + 9c \), и при делении на 9 даёт целое число). 7. Посчитаем сумму цифр каждого числа: - Для 5280: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 0 = 15 \) (возможно, 15 не делится на 9) - Для 5281: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 1 = 16 \) (возможно, 16 не делится на 9) - Для 5282: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 2 = 17 \) (возможно, 17 не делится на 9) - Для 5283: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 3 = 18 \) (делится на 9) - Для 5284: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 4 = 19 \) (возможно, 19 не делится на 9) - Для 5285: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 5 = 20 \) (возможно, 20 не делится на 9) - Для 5286: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 6 = 21 \) (возможно, 21 не делится на 9) - Для 5287: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 7 = 22 \) (возможно, 22 не делится на 9) - Для 5288: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 8 = 23 \) (возможно, 23 не делится на 9) - Для 5289: сумма digits = \( 5 + 2 + 8 + 9 = 24 \) (делится на 9) Таким образом, возможные значения для \( M \) — это 5283 и 5289. - Если мы рассмотрим 5283, тогда единица - это стёртая цифра, а если 5289, то это 9. Тем не менее, если число исходное ещё делится на 9, это накладывает большое ограничение, что позволяет утверждать, что **Ира стёрла цифру 3**, чтобы получить 528, так как только 5283 сохраняет эти характеристики. Итак, ответ на задачу: **Ира стёрла цифру 3.**