В треугольнике АВС ∠B = = 90°, CD -биссектриса тре-угольника, ∠BDC = 70°. а) Найдите углы треугольни-ка ACD. б) Сравните отрезки AD и CD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольников и биссектрис.

Данные:

• Треугольник \( ABC \), где \( \angle B = 90^\circ \) (прямоугольный треугольник).
• \( CD \) — биссектрисa угла \( \angle ACB \).
• \( \angle BDC = 70^\circ \).

а) Найдите углы треугольника ACD.

1. Определим углы треугольника ABC:

   • Поскольку треугольник \( ABC \) прямоугольный и \( \angle B = 90^\circ \), то сумма углов \( \angle A + \angle C = 90^\circ \).
   • Следовательно, \( \angle C = 90^\circ - \angle A \).

2. Используем угол \( \angle BDC \):

   • Треугольник \( BDC \) является частью треугольника \( ABC \), и в нем мы знаем, что \( \angle BDC = 70^\circ \).
   • Угол \( \angle BDC \) и угол \( \angle ACB \) (угол \( C \)) вместе составляют угол \( 180^\circ \): \[ \angle ACB + \angle BDC = 180^\circ \]
   • То есть: \[ \angle ACB = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]

3. Теперь найдем угол \( \angle A \):

   • У нас есть \( \angle A + \angle C = 90^\circ \): \[ \angle A + 110^\circ = 90^\circ \] \[ \angle A = 90^\circ - 110^\circ = -20^\circ \] Это значение неверно, значит мы сделали ошибку в расчетах. На самом деле, угол \( A \) остается неопределенным.

4. Используем свойства биссектрисы:

   • Так как \( CD \) — биссектрисa угла \( ACB \), углы \( \angle ACD \) и \( \angle DCB \) равны. Обозначим их как \( x \).
   • Следовательно, \( 2x + 70^\circ = 180^\circ \): \[ 2x = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \] \[ x = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \]
   • Значит, угол \( ACD = 55^\circ \) и угол \( DCB = 55^\circ \).

5. Теперь также можем найти угол \( DAC \):

   • Угол \( DAC \) равен: \[ \angle DAC = \angle A - \angle ACB = \angle A - 55^\circ = 90^\circ - 70^\circ \]
   • Поэтому: \[ \angle DAC = 35^\circ \]

Таким образом, углы треугольника \( ACD \):

• \( \angle ACD = 55^\circ \)
• \( \angle DAC = 35^\circ \)

б) Сравните отрезки AD и CD.

Для сравнения отрезков \( AD \) и \( CD \) используем свойства биссектрисы и угол.

1. Поскольку \( CD \) является биссектрисой, он делит угол \( ACB \) пополам.
2. Как правило, в прямоугольном треугольнике (или в любом другом) биссектрисa угла (в данном случае \( ACB \)) делит противоположную сторону пропорционально длинам смежных сторон.

Так как приложение \( AB \) и \( BC \) известно, то по теореме о биссектрисе мы можем обозначить длины сторон как \( k \) и \( m \) (где \( AB \) и \( AC \)), и используем пропорцию: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \]

Если \( AB = AC \), то \( AD = CD \).

Таким образом, если \( AB > BC \), то \( AD < CD \) и наоборот. Для точного сравнения нужно знать длины сторон.

В общем:

• Если стороны треугольника не равны, то \( CD < AD \), если \( AD \) противоположная большей стороне.