cos2x+√2cos(x+π)+1=0
Чтобы решить уравнение \( \cos(2x) + \sqrt{2} \cos(x + \pi) + 1 = 0 \), давайте рассмотрим его шаг за шагом, чтобы понять каждую часть.
Шаг 1: Упростить выражение
Сначала мы можем упростить часть с \( \cos(x + \pi) \). По свойствам тригонометрических функций, мы знаем, что:
\[ \cos(x + \pi) = -\cos(x) \]
Тогда наше уравнение становится:
\[ \cos(2x) - \sqrt{2} \cos(x) + 1 = 0 \]
Шаг 2: Использовать формулу для двойного угла
Теперь мы можем использовать формулу для \( \cos(2x) \):
\[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]
Подставим это в уравнение:
\[ 2\cos^2(x) - 1 - \sqrt{2} \cos(x) + 1 = 0 \]
Упрощаем:
\[ 2\cos^2(x) - \sqrt{2} \cos(x) = 0 \]
Шаг 3: Вынести общий множитель
Вынесем общий множитель \( \cos(x) \):
\[ \cos(x)(2\cos(x) - \sqrt{2}) = 0 \]
Теперь у нас есть два случая:
- \( \cos(x) = 0 \)
- \( 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \)
Шаг 4: Решить первый случай
Для \( \cos(x) = 0 \):
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Шаг 5: Решить второй случай
Теперь решим второй случай:
\[ 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \implies 2\cos(x) = \sqrt{2} \implies \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Значения \( x \), для которых \( \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Шаг 6: Итоговые решения
Таким образом, все решения нашего уравнения:
- \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
- \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
- \( x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Эти решения представляют все углы \( x \), для которых выполняется данное тригонометрическое уравнение.
