Cos2x+√2cos(x+π)+1=0

Чтобы решить уравнение \( \cos(2x) + \sqrt{2} \cos(x + \pi) + 1 = 0 \), давайте рассмотрим его шаг за шагом, чтобы понять каждую часть. ### Шаг 1: Упростить выражение Сначала мы можем упростить часть с \( \cos(x + \pi) \). По свойствам тригонометрических функций, мы знаем, что: \[ \cos(x + \pi) = -\cos(x) \] Тогда наше уравнение становится: \[ \cos(2x) - \sqrt{2} \cos(x) + 1 = 0 \] ### Шаг 2: Использовать формулу для двойного угла Теперь мы можем использовать формулу для \( \cos(2x) \): \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Подставим это в уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 - \sqrt{2} \cos(x) + 1 = 0 \] Упрощаем: \[ 2\cos^2(x) - \sqrt{2} \cos(x) = 0 \] ### Шаг 3: Вынести общий множитель Вынесем общий множитель \( \cos(x) \): \[ \cos(x)(2\cos(x) - \sqrt{2}) = 0 \] Теперь у нас есть два случая: 1. \( \cos(x) = 0 \) 2. \( 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \) ### Шаг 4: Решить первый случай Для \( \cos(x) = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 5: Решить второй случай Теперь решим второй случай: \[ 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \implies 2\cos(x) = \sqrt{2} \implies \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Значения \( x \), для которых \( \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 6: Итоговые решения Таким образом, все решения нашего уравнения: 1. \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \) 2. \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \) 3. \( x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \) Эти решения представляют все углы \( x \), для которых выполняется данное тригонометрическое уравнение.