Чтобы решить задачу о вычислении радиуса и угловой величины дуги развёртки конической жестяной воронки, давайте определим размеры и выполнить необходимые расчёты шаг за шагом.
Дано:
- Диаметр воронки ( D = 10 ) см.
- Высота воронки ( h = 12 ) см.
Необходимо найти:
- Радиус основания воронки ( r ).
- Угловую величину дуги развёртки.
Шаг 1: Найдем радиус основания.
Радиус ( r ) можно найти, разделив диаметр на 2:
[
r = \frac{D}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}
]
Шаг 2: Найдем длину образующей (генератора) воронки.
Сначала нужно найти длину образующей ( l ). Это можно сделать, используя теорему Пифагора:
[
l = \sqrt{r^2 + h^2}
]
Подставим значения:
[
l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}
]
Шаг 3: Найдем угловую величину дуги развёртки.
Воронка разворачивается в сектор круга. Чтобы найти угловую величину ( \alpha ) в радианах, используем формулу:
[
\alpha = \frac{r}{l} \cdot 2\pi
]
Здесь ( r ) — радиус основания и ( l ) — длина образующей.
Подставим значения:
[
\alpha = \frac{5}{13} \cdot 2\pi \approx \frac{5 \cdot 6.2832}{13} \approx \frac{31.4159}{13} \approx 2.415
]
Шаг 4: Переведем в градусы.
Для перевода радиан в градусы используем формулу:
[
\text{градусы} = \alpha \cdot \frac{180}{\pi}
]
Подставим найденное значение угла:
[
\text{градусы} \approx 2.415 \cdot \frac{180}{3.1416} \approx 138.4^\circ
]
Ответ:
- Радиус основания ( r = 5 ) см.
- Угловая величина дуги развёртки ( \alpha \approx 138.4^\circ ).
Теперь вы знаете, как найти радиус и угловую величину дуги развёртки конической воронки! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
