У Кристины и Толи сегодня день рождения. Толя заметил, что 1/19 от возраста Кристины равна 1/17от его возраста. При этом сумма их возрастов больше 40, но меньше 100. Сколько лет Кристине?

Чтобы решить задачу, давайте обозначим возраст Кристины как \( K \), а возраст Толи как \( T \). Согласно условию, у нас есть два ключевых уравнения: 1. \( \frac{1}{19} K = \frac{1}{17} T \) 2. \( 40 < K + T < 100 \) ### Шаг 1: Преобразование первого уравнения Мы начнем с первого уравнения. Умножим обе стороны на 19 * 17, чтобы избавиться от дробей: \[ 17K = 19T \] Теперь мы можем выразить \( T \) через \( K \): \[ T = \frac{17K}{19} \] ### Шаг 2: Подставим значение \( T \) во второе двойное неравенство Теперь подставим найденное значение \( T \) во второе неравенство: \[ 40 < K + \frac{17K}{19} < 100 \] Сначала упростим выражение \( K + \frac{17K}{19} \): \[ K + \frac{17K}{19} = \frac{19K}{19} + \frac{17K}{19} = \frac{36K}{19} \] Теперь подставим это обратно в неравенства: \[ 40 < \frac{36K}{19} < 100 \] ### Шаг 3: Умножим на 19 Умножим все части неравенства на 19 (так как 19 положительное, знак неравенства не изменится): \[ 40 \cdot 19 < 36K < 100 \cdot 19 \] Посчитаем: \[ 760 < 36K < 1900 \] ### Шаг 4: Разделим на 36 Теперь делим все части неравенства на 36: \[ \frac{760}{36} < K < \frac{1900}{36} \] Приблизительно это дает: \[ 21.11 < K < 52.78 \] ### Шаг 5: Найдем целые числа в пределах Теперь мы ищем целые значения для \( K \) в диапазоне от 22 до 52 (так как \( K \) должно быть целым). Теперь, используя значение \( K \), мы можем найти соответствующее значение \( T \): \[ T = \frac{17K}{19} \] ### Шаг 6: Проверка целых значений Теперь мы можем проверить значения \( K \) от 22 до 52 и подставить их в уравнение, чтобы узнать, являются ли \( T \) целым числом и удовлетворяет ли сумма возрастов условию (больше 40, меньше 100): 1. \( K = 22 \): \( T = \frac{17 \times 22}{19} \approx 19.26 \) (не подходит) 2. \( K = 23 \): \( T = \frac{17 \times 23}{19} \approx 20.44 \) (не подходит) 3. \( K = 24 \): \( T = \frac{17 \times 24}{19} \approx 21.68 \) (не подходит) 4. \( K = 25 \): \( T = \frac{17 \times 25}{19} \approx 22.63 \) (не подходит) 5. \( K = 26 \): \( T = \frac{17 \times 26}{19} = 23 \) (подходит) - Сумма: \( 26 + 23 = 49 \) (подходит) 6. Далее можно проверить значения до 52, но не забудем, что мы ищем первое удовлетворяющее условие целое число. ### Ответ В результате, Кристине **26 лет**.