Площадь равнобедренного треугольника равна 16 см2, угол при основании 15°. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренного треугольника, зная его площадь и угол при основании, следуем пошагово. ### Дано - Площадь треугольника \( S = 16 \, \text{см}^2 \) - Угол при основании \(\alpha = 15°\) ### Шаг 1: Формула площади треугольника Существует несколько способов вычисления площади треугольника. В нашем случае, воспользуемся формулой: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где: - \( a \) — основание треугольника, - \( h \) — высота. Однако, так как у нас равнобедренный треугольник, можем также использовать следующую формулу для площади через длину боковой стороны \( b \) и угол \(\alpha\): \[ S = \frac{b^2 \cdot \sin(\alpha)}{2} \] ### Шаг 2: Подставим известные значения Площадь известна, угол при основании тоже известен, поэтому мы можем выразить \( b \). Подставим данные в формулу: \[ 16 = \frac{b^2 \cdot \sin(15°)}{2} \] ### Шаг 3: Выразим \( b^2 \) Перепишем уравнение: \[ 16 = \frac{b^2 \cdot \sin(15°)}{2} \] Умножим обе стороны на 2 для упрощения: \[ 32 = b^2 \cdot \sin(15°) \] Теперь выразим \( b^2 \): \[ b^2 = \frac{32}{\sin(15°)} \] ### Шаг 4: Найдем \(\sin(15°)\) Используя тригонометрическую формулу, можно найти \(\sin(15°)\): \[ \sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°) \] где: \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\). Подставим значения: \[ \sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] ### Шаг 5: Подставим \(\sin(15°)\) в уравнение Теперь подставим значение \(\sin(15°)\) в уравнение для \( b^2 \): \[ b^2 = \frac{32}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{32 \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{128}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \] ### Шаг 6: Найдем \( b \) Следовательно, \[ b = \sqrt{\frac{128}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}} \] Так как вычисление выглядит громоздко, можно упростить корень: Для точного значения можно использовать приближенные значения косинуса или воспользоваться калькулятором. ### Шаг 7: Примерное значение Для \(\sin(15°) \approx 0.2588\): \[ b^2 \approx \frac{32}{0.2588} \approx 123.78 \implies b \approx \sqrt{123.78} \approx 11.12 \] ### Ответ Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет примерно 11.12 см.