Площадь равнобедренного треугольника равна 16 см2, угол при основании 15°. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренного треугольника, зная его площадь и угол при основании, следуем пошагово.

Дано

• Площадь треугольника \( S = 16 \, \text{см}^2 \)
• Угол при основании \(\alpha = 15°\)

Шаг 1: Формула площади треугольника

Существует несколько способов вычисления площади треугольника. В нашем случае, воспользуемся формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

где:

• \( a \) — основание треугольника,
• \( h \) — высота.

Однако, так как у нас равнобедренный треугольник, можем также использовать следующую формулу для площади через длину боковой стороны \( b \) и угол \(\alpha\):

\[ S = \frac{b^2 \cdot \sin(\alpha)}{2} \]

Шаг 2: Подставим известные значения

Площадь известна, угол при основании тоже известен, поэтому мы можем выразить \( b \).

Подставим данные в формулу:

\[ 16 = \frac{b^2 \cdot \sin(15°)}{2} \]

Шаг 3: Выразим \( b^2 \)

Перепишем уравнение:

\[ 16 = \frac{b^2 \cdot \sin(15°)}{2} \]

Умножим обе стороны на 2 для упрощения:

\[ 32 = b^2 \cdot \sin(15°) \]

Теперь выразим \( b^2 \):

\[ b^2 = \frac{32}{\sin(15°)} \]

Шаг 4: Найдем \(\sin(15°)\)

Используя тригонометрическую формулу, можно найти \(\sin(15°)\):

\[ \sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°) \]

где: \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).

Подставим значения:

\[ \sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Шаг 5: Подставим \(\sin(15°)\) в уравнение

Теперь подставим значение \(\sin(15°)\) в уравнение для \( b^2 \):

\[ b^2 = \frac{32}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{32 \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{128}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]

Шаг 6: Найдем \( b \)

Следовательно,

\[ b = \sqrt{\frac{128}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}} \]

Так как вычисление выглядит громоздко, можно упростить корень:

Для точного значения можно использовать приближенные значения косинуса или воспользоваться калькулятором.

Шаг 7: Примерное значение

Для \(\sin(15°) \approx 0.2588\):

\[ b^2 \approx \frac{32}{0.2588} \approx 123.78 \implies b \approx \sqrt{123.78} \approx 11.12 \]

Ответ

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет примерно 11.12 см.