Решить

Для решения задачи найдем недостающие стороны прямоугольного треугольника и его периметр.

1. Дано:

   • Площадь прямоугольного треугольника \(S = 630 \, \text{см}^2\).
   • Гипотенуза \(c = 53 \, \text{см}\).

2. Периметр:

   • Чтобы найти периметр, нам нужно знать все три стороны треугольника: \(a\), \(b\), и \(c\).

3. Найдем катеты:

   Для прямоугольного треугольника:

   • Площадь выражается как: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
   • Нам известно \(S = 630\), поэтому: \[ a \times b = 2 \times 630 = 1260 \]

4. Применим теорему Пифагора:

   • В соответствии с теоремой Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
   • Подставим известное значение гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 53^2 = 2809 \]

5. Решим систему уравнений:

   У нас есть две уравнения: \[ \begin{cases} a \times b = 1260 \\ a^2 + b^2 = 2809 \end{cases} \]

   Выразим \(b\) из первого уравнения: \[ b = \frac{1260}{a} \]

   Подставим это в уравнение Пифагора: \[ a^2 + \left(\frac{1260}{a}\right)^2 = 2809 \]

   Приведем к общему знаменателю: \[ a^2 + \frac{1260^2}{a^2} = 2809 \]

   Получим: \[ a^4 + 1260^2 = 2809a^2 \]

   Это приводит к квадратному уравнению: \[ a^4 - 2809a^2 + 1260^2 = 0 \]

   Упростим это уравнение:

   Путем подбора или более сложных расчетов, находим: \[ a = 35 \, \text{см}, \, b = 36 \, \text{см} \]

6. Периметр:

   • Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: \[ P = a + b + c = 35 + 36 + 53 = 124 \, \text{см} \]

Ответ: Периметр треугольника равен 124 см.