Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать информацию о зависимости поступлений от налоговой ставки. Мы знаем, что эта зависимость является квадратичной функцией, которую можно записать в следующем виде: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где: - \( P(x) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков), - \( x \) — налоговая ставка (в процентах), - \( a, b, c \) — коэффициенты, которые нужно определить. ### Шаг 1: Составление системы уравнений У нас есть три точки, которые представляют значение поступлений при различных налоговых ставках: 1. При \( x = 10 \% \): \( P(10) = 1.3 \) 2. При \( x = 33 \% \): \( P(33) = 1.3 \) 3. При \( x = 27 \% \): \( P(27) = 1.6 \) Подставим эти значения в уравнение \( P(x) \): 1. \( 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \) \[ 1.3 = 100a + 10b + c \] 2. \( 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \) \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \] 3. \( 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \) \[ 1.6 = 729a + 27b + c \] Теперь мы имеем систему из трех уравнений: 1. \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1) 2. \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2) 3. \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3) ### Шаг 2: Устранение переменных Можно вычесть уравнения друг из друга, чтобы избавиться от \( c \). Вычтем (1) из (2): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] Это упрощается до: \[ 989a + 23b = 0 \] (4) Вычтем (1) из (3): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] Это упрощается до: \[ 629a + 17b = 0.3 \] (5) ### Шаг 3: Система уравнений (4) и (5) Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5): 1. \( 989a + 23b = 0 \) 2. \( 629a + 17b = 0.3 \) Из (4) выразим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Теперь подставим \( b \) в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Упрощаем: \[ 629a - \frac{16893}{23}a = 0.3 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{629 \cdot 23 - 16893}{23}a = 0.3 \] Посчитаем \( 629 \cdot 23 \): \[ 14467 - 16893 = -2436 \] Находим \( a \): \[ \frac{-2436}{23}a = 0.3 \] \[ a = -\frac{0.3 \cdot 23}{2436} \] \[ a \approx -0.029 \] Теперь подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}\cdot(-0.029) \approx 1.064 \] ### Шаг 4: Находим \( c \) Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из уравнений (например, (1)) для нахождения \( c \): \[ 100(-0.029) + 10(1.064) + c = 1.3 \] Упрощаем: \[ -2.9 + 10.64 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 + 2.9 - 10.64 \] \[ c \approx -6.44 \] Теперь у нас есть \( a \), \( b \) и \( c \): - \( a \approx -0.029 \) - \( b \approx 1.064 \) - \( c \approx -6.44 \) ### Шаг 5: Находим максимальную точку Максимум параболы \( P(x) \) находится в вершине, которая достигается по формуле: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения: \[ x_{max} = -\frac{1.064}{2 \cdot -0.029} \] \[ x_{max} = \frac{1.064}{0.058} \approx 18.35 \] ### Ответ Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно **18.35%**.