Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать информацию о зависимости поступлений от налоговой ставки. Мы знаем, что эта зависимость является квадратичной функцией, которую можно записать в следующем виде:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где:
- \( P(x) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков),
- \( x \) — налоговая ставка (в процентах),
- \( a, b, c \) — коэффициенты, которые нужно определить.
Шаг 1: Составление системы уравнений
У нас есть три точки, которые представляют значение поступлений при различных налоговых ставках:
- При \( x = 10 \% \): \( P(10) = 1.3 \)
- При \( x = 33 \% \): \( P(33) = 1.3 \)
- При \( x = 27 \% \): \( P(27) = 1.6 \)
Подставим эти значения в уравнение \( P(x) \):
\( 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \) \[ 1.3 = 100a + 10b + c \]
\( 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \) \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \]
\( 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \) \[ 1.6 = 729a + 27b + c \]
Теперь мы имеем систему из трех уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Шаг 2: Устранение переменных
Можно вычесть уравнения друг из друга, чтобы избавиться от \( c \).
Вычтем (1) из (2):
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \]
Это упрощается до:
\[ 989a + 23b = 0 \] (4)
Вычтем (1) из (3):
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \]
Это упрощается до:
\[ 629a + 17b = 0.3 \] (5)
Шаг 3: Система уравнений (4) и (5)
Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из (4) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим \( b \) в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \]
Упрощаем:
\[ 629a - \frac{16893}{23}a = 0.3 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{629 \cdot 23 - 16893}{23}a = 0.3 \]
Посчитаем \( 629 \cdot 23 \):
\[ 14467 - 16893 = -2436 \]
Находим \( a \):
\[ \frac{-2436}{23}a = 0.3 \] \[ a = -\frac{0.3 \cdot 23}{2436} \] \[ a \approx -0.029 \]
Теперь подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}\cdot(-0.029) \approx 1.064 \]
Шаг 4: Находим \( c \)
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из уравнений (например, (1)) для нахождения \( c \):
\[ 100(-0.029) + 10(1.064) + c = 1.3 \]
Упрощаем:
\[ -2.9 + 10.64 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 + 2.9 - 10.64 \] \[ c \approx -6.44 \]
Теперь у нас есть \( a \), \( b \) и \( c \):
- \( a \approx -0.029 \)
- \( b \approx 1.064 \)
- \( c \approx -6.44 \)
Шаг 5: Находим максимальную точку
Максимум параболы \( P(x) \) находится в вершине, которая достигается по формуле:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{max} = -\frac{1.064}{2 \cdot -0.029} \] \[ x_{max} = \frac{1.064}{0.058} \approx 18.35 \]
Ответ
Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 18.35%.
