Решим задачу шаг за шагом.
Задача:
В классе 16 девочек, среди которых есть 3 подруги: Алена, Маша и Вика. Учитель выбирает случайным образом 2 девочек.
a) Сколько способов выбрать 2-х девочек из 16?
Для того чтобы найти количество способов выбрать 2 девочек из 16, используем формулу для сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество элемент (в нашем случае девочек, т.е. 16),
- ( k ) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 2).
Подставим наши значения:
[
C(16, 2) = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!}
]
Факториалы ( 14! ) сокращаются, и остается:
[
C(16, 2) = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = \frac{240}{2} = 120
]
Итак, 120 способов выбрать 2 девочки из 16.
b) Сколько способов выбрать 2-х девочек, если это будут 2 из 3 подружек?
Теперь мы рассматриваем только 3 подружки: Алена, Маша и Вика. Нам нужно выбрать 2 из этих 3 девочек. Используем ту же формулу для сочетаний:
[
C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!}
]
Подставим значения:
[
C(3, 2) = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3
]
Итак, 3 способа выбрать 2 подружки из 3.
Итого:
- а) 120 способов выбрать 2 девочек из 16.
- б) 3 способа выбрать 2 девочки из 3 подруг.
