Найди скалярное произведение векторов f → f ​ и d → d , если f → = 4 m → − 3 n → f ​ =4 m −3 n и d → = − 3 m → + 5 n → d =−3 m +5 n , а m → { − 2 ; 3 } m {−2;3} , n → { 4 ; 2 } n…

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{f} \) и \( \mathbf{d} \) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{f} \cdot \mathbf{d} = f_1 \cdot d_1 + f_2 \cdot d_2 \]

где \( f_1 \) и \( f_2 \) — компоненты вектора \( \mathbf{f} \), а \( d_1 \) и \( d_2 \) — компоненты вектора \( \mathbf{d} \).

Давайте сначала найдем компоненты векторов \( \mathbf{f} \) и \( \mathbf{d} \), используя заданные векторы \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \).

Шаг 1: Найдите компоненты векторов

Векторы заданы как:

• \( \mathbf{f} = 4 \mathbf{m} - 3 \mathbf{n} \)
• \( \mathbf{d} = -3 \mathbf{m} + 5 \mathbf{n} \)

Значения векторов:

• \( \mathbf{m} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
• \( \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Компоненты вектора \( \mathbf{f} \):

1. Умножаем вектор \( \mathbf{m} \) на 4: \[ 4 \mathbf{m} = 4 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]

2. Умножаем вектор \( \mathbf{n} \) на 3: \[ -3 \mathbf{n} = -3 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -6 \end{pmatrix} \]

3. Складываем результаты: \[ \mathbf{f} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 12 \\ 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Компоненты вектора \( \mathbf{d} \):

1. Умножаем вектор \( \mathbf{m} \) на -3: \[ -3 \mathbf{m} = -3 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix} \]

2. Умножаем вектор \( \mathbf{n} \) на 5: \[ 5 \mathbf{n} = 5 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} \]

3. Складываем результаты: \[ \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 20 \\ -9 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Вычисление скалярного произведения

Теперь, когда у нас есть компоненты векторов \( \mathbf{f} \) и \( \mathbf{d} \):

• \( \mathbf{f} = \begin{pmatrix} -20 \\ 6 \end{pmatrix} \)
• \( \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Считаем их скалярное произведение: \[ \mathbf{f} \cdot \mathbf{d} = (-20) \cdot 26 + 6 \cdot 1 \]

Теперь давайте посчитаем каждое слагаемое:

1. \((-20) \cdot 26 = -520\)
2. \(6 \cdot 1 = 6\)

Теперь складываем: \[ \mathbf{f} \cdot \mathbf{d} = -520 + 6 = -514 \]

Ответ

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{f} \) и \( \mathbf{d} \) равно \(-514\).