Найди скалярное произведение векторов f → f ​ и d → d , если f → = 4 m → − 3 n → f ​ =4 m −3 n и d → = − 3 m → + 5 n → d =−3 m +5 n , а m → { − 2 ; 3 } m {−2;3} , n → { 4 ; 2 } n…

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{f} \) и \( \vec{d} \), нужно сначала выразить их в виде координатных векторов с использованием заданных векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \).

1. Вычислим координаты векторов \( \vec{f} \) и \( \vec{d} \).

   Мы знаем, что:

   • \( \vec{m} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
   • \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \)

   Теперь подставим значения \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) в выражения для векторов \( \vec{f} \) и \( \vec{d} \):

   • \( \vec{f} = 4\vec{m} - 3\vec{n} \)
   • \( \vec{d} = -3\vec{m} + 5\vec{n} \)

   Вычислим \( \vec{f} \):

   \[ \vec{f} = 4 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

   \[ \vec{f} = \begin{pmatrix} 4 \cdot -2 \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix} \]

   \[ \vec{f} = \begin{pmatrix} -8 - 12 \\ 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 6 \end{pmatrix} \]

   Теперь вычислим \( \vec{d} \):

   \[ \vec{d} = -3 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

   \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} -3 \cdot -2 \\ -3 \cdot 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \cdot 4 \\ 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} \]

   \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} 6 + 20 \\ -9 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \end{pmatrix} \]

2. Теперь найдем скалярное произведение \( \vec{f} \cdot \vec{d} \).

   Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \) и \( \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \) определяется как:

   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

   Подставим значения \( \vec{f} = \begin{pmatrix} -20 \\ 6 \end{pmatrix} \) и \( \vec{d} = \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \end{pmatrix} \):

   \[ \vec{f} \cdot \vec{d} = (-20) \cdot 26 + 6 \cdot 1 \]

   \[ = -520 + 6 = -514 \]

3. Ответ:

   Скалярное произведение векторов \( \vec{f} \) и \( \vec{d} \) равно \(-514\).