Найди скалярное произведение векторов f → f ​ и d → d , если f → = 4 m → − 3 n → f ​ =4 m −3 n и d → = − 3 m → + 5 n → d =−3 m +5 n , а m → { − 2 ; 3 } m {−2;3} , n → { 4 ; 2 } n…

Для нахождения скалярного произведения двух векторов, мы будем использовать формулу:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

где \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) — это координаты векторов в алгебраической форме.

В данной задаче нам даны векторы:

\[ \vec{f} = 4\vec{m} - 3\vec{n} \] \[ \vec{d} = -3\vec{m} + 5\vec{n} \]

и векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) имеют координаты:

\[ \vec{m} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Вычисление векторов \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\)

Первым делом найдем координаты вектора \(\vec{f}\):

\[ \vec{f} = 4\vec{m} - 3\vec{n} = 4 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Выполним умножение:

\[ 4\vec{m} = \begin{pmatrix} 4 \cdot -2 \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} \] \[ 3\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Теперь вычтем эти два вектора:

\[ \vec{f} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 12 \\ 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем координаты вектора \(\vec{d}\):

\[ \vec{d} = -3\vec{m} + 5\vec{n} = -3 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Выполним умножение:

\[ -3\vec{m} = \begin{pmatrix} -3 \cdot -2 \\ -3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix} \] \[ 5\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 4 \\ 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} \]

Теперь складываем векторы:

\[ \vec{d} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 20 \\ -9 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Скалярное произведение \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\)

Теперь мы можем найти скалярное произведение \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\):

\[ \vec{f} \cdot \vec{d} = (-20) \cdot 26 + 6 \cdot 1 \]

Выполним расчёты:

\[ \vec{f} \cdot \vec{d} = -520 + 6 = -514 \]

Ответ:

Скалярное произведение векторов \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\) равно \(-514\).