Для нахождения скалярного произведения двух векторов, мы будем использовать формулу:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
]
где (\vec{a} = (a_1, a_2)) и (\vec{b} = (b_1, b_2)) — это координаты векторов в алгебраической форме.
В данной задаче нам даны векторы:
[
\vec{f} = 4\vec{m} - 3\vec{n}
]
[
\vec{d} = -3\vec{m} + 5\vec{n}
]
и векторы (\vec{m}) и (\vec{n}) имеют координаты:
[
\vec{m} = \begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \end{pmatrix}
]
Шаг 1: Вычисление векторов (\vec{f}) и (\vec{d})
Первым делом найдем координаты вектора (\vec{f}):
[
\vec{f} = 4\vec{m} - 3\vec{n} = 4 \begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 4 \ 2 \end{pmatrix}
]
Выполним умножение:
[
4\vec{m} = \begin{pmatrix} 4 \cdot -2 \ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \ 12 \end{pmatrix}
]
[
3\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 4 \ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \ 6 \end{pmatrix}
]
Теперь вычтем эти два вектора:
[
\vec{f} = \begin{pmatrix} -8 \ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 12 \ 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \ 6 \end{pmatrix}
]
Теперь найдем координаты вектора (\vec{d}):
[
\vec{d} = -3\vec{m} + 5\vec{n} = -3 \begin{pmatrix} -2 \ 3 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 4 \ 2 \end{pmatrix}
]
Выполним умножение:
[
-3\vec{m} = \begin{pmatrix} -3 \cdot -2 \ -3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ -9 \end{pmatrix}
]
[
5\vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 4 \ 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \ 10 \end{pmatrix}
]
Теперь складываем векторы:
[
\vec{d} = \begin{pmatrix} 6 \ -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 20 \ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 20 \ -9 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 \ 1 \end{pmatrix}
]
Шаг 2: Скалярное произведение (\vec{f}) и (\vec{d})
Теперь мы можем найти скалярное произведение (\vec{f}) и (\vec{d}):
[
\vec{f} \cdot \vec{d} = (-20) \cdot 26 + 6 \cdot 1
]
Выполним расчёты:
[
\vec{f} \cdot \vec{d} = -520 + 6 = -514
]
Ответ:
Скалярное произведение векторов (\vec{f}) и (\vec{d}) равно (-514).
