Найди скалярное произведение векторов f→f​ и d→d , если f→=4m→−3n→f​=4m−3n и d→=−3m→+5n→d=−3m+5n , а m→{−2;3}m{−2;3} , n→{4;2}n{4;2} .

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{f} \) и \( \vec{d} \), нам нужно сначала выразить эти векторы в числовом виде, используя предоставленные компоненты векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \).

Дано:

• Вектор \( \vec{m} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
• Вектор \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Шаг 1: Найдем вектор \( \vec{f} \)

Вектор \( \vec{f} \) определяется как: \[ \vec{f} = 4\vec{m} - 3\vec{n} \]

Теперь подставим значения векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \):

\[ 4\vec{m} = 4 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot -2 \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} \] \[ 3\vec{n} = 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем \( \vec{f} \): \[ \vec{f} = \begin{pmatrix} -8 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - 12 \\ 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдем вектор \( \vec{d} \)

Вектор \( \vec{d} \) определяется как: \[ \vec{d} = -3\vec{m} + 5\vec{n} \]

Подставим значения векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \): \[ -3\vec{m} = -3 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix} \] \[ 5\vec{n} = 5 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем \( \vec{d} \): \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 20 \\ -9 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Находим скалярное произведение \( \vec{f} \) и \( \vec{d} \)

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{f} = \begin{pmatrix} -20 \\ 6 \end{pmatrix} \) и \( \vec{d} = \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \end{pmatrix} \) вычисляется по формуле: \[ \vec{f} \cdot \vec{d} = f_1 d_1 + f_2 d_2 \] где \( f_1 = -20 \), \( f_2 = 6 \), \( d_1 = 26 \), \( d_2 = 1 \).

Подставим значения: \[ \vec{f} \cdot \vec{d} = (-20) \cdot 26 + 6 \cdot 1 = -520 + 6 = -514 \]

Ответ

Скалярное произведение векторов \( \vec{f} \) и \( \vec{d} \) равно \( -514 \).