Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 297. Найди все…

Обозначим задуманное трёхзначное число как \( xyz \), где \( x \), \( y \) и \( z \) — цифры числа, причем \( x \) — это первая цифра, \( y \) — вторая, а \( z \) — последняя. Поскольку это трёхзначное число, \( x \) должно быть от 1 до 9, а \( y \) и \( z \) могут быть от 0 до 9, но \( z \) не может быть равен 0.

Число можно представить как: \[ N = 100x + 10y + z \] Число, записанное в обратном порядке, будет: \[ M = 100z + 10y + x \]

По условию задачи, разность между этими числами равна 297: \[ N - M = (100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 297 \]

Упрощаем уравнение: \[ (100x - x) + (10y - 10y) + (z - 100z) = 297 \] \[ 99x - 99z = 297 \] \[ 99(x - z) = 297 \] \[ x - z = 3 \]

Теперь мы знаем, что первая цифра больше последней на 3: \[ x = z + 3 \]

Теперь найдем возможные значения для \( z \):

• Поскольку \( z \) — это последняя цифра и не может быть равна 0, \( z \) может принимать значения от 1 до 6 (потому что \( x \) должен оставаться цифрой и не превышать 9):
  • Если \( z = 1 \), тогда \( x = 1 + 3 = 4 \)
  • Если \( z = 2 \), тогда \( x = 2 + 3 = 5 \)
  • Если \( z = 3 \), тогда \( x = 3 + 3 = 6 \)
  • Если \( z = 4 \), тогда \( x = 4 + 3 = 7 \)
  • Если \( z = 5 \), тогда \( x = 5 + 3 = 8 \)
  • Если \( z = 6 \), тогда \( x = 6 + 3 = 9 \)

Теперь подставим значения для \( x \) и \( z \):

1. \( z = 1, x = 4 \) → число имеет вид \( 41y1 \)
2. \( z = 2, x = 5 \) → число имеет вид \( 52y2 \)
3. \( z = 3, x = 6 \) → число имеет вид \( 63y3 \)
4. \( z = 4, x = 7 \) → число имеет вид \( 74y4 \)
5. \( z = 5, x = 8 \) → число имеет вид \( 85y5 \)
6. \( z = 6, x = 9 \) → число имеет вид \( 96y6 \)

Теперь мы можем искать числа, которые больше 900. То есть подходит только последнее число:

• Если \( z = 6, x = 9 \), \( y \) может быть от 0 до 9, следовательно, получаем числа:
  • 906
  • 916
  • 926
  • 936
  • 946
  • 956
  • 966
  • 976
  • 986
  • 996

Все подходящие числа в порядке возрастания: \[ 906;916;926;936;946;956;966;976;986;996 \]