Обозначим задуманное трёхзначное число как ( xyz ), где ( x ), ( y ) и ( z ) — цифры числа, причем ( x ) — это первая цифра, ( y ) — вторая, а ( z ) — последняя. Поскольку это трёхзначное число, ( x ) должно быть от 1 до 9, а ( y ) и ( z ) могут быть от 0 до 9, но ( z ) не может быть равен 0.
Число можно представить как:
[
N = 100x + 10y + z
]
Число, записанное в обратном порядке, будет:
[
M = 100z + 10y + x
]
По условию задачи, разность между этими числами равна 297:
[
N - M = (100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 297
]
Упрощаем уравнение:
[
(100x - x) + (10y - 10y) + (z - 100z) = 297
]
[
99x - 99z = 297
]
[
99(x - z) = 297
]
[
x - z = 3
]
Теперь мы знаем, что первая цифра больше последней на 3:
[
x = z + 3
]
Теперь найдем возможные значения для ( z ):
- Поскольку ( z ) — это последняя цифра и не может быть равна 0, ( z ) может принимать значения от 1 до 6 (потому что ( x ) должен оставаться цифрой и не превышать 9):
- Если ( z = 1 ), тогда ( x = 1 + 3 = 4 )
- Если ( z = 2 ), тогда ( x = 2 + 3 = 5 )
- Если ( z = 3 ), тогда ( x = 3 + 3 = 6 )
- Если ( z = 4 ), тогда ( x = 4 + 3 = 7 )
- Если ( z = 5 ), тогда ( x = 5 + 3 = 8 )
- Если ( z = 6 ), тогда ( x = 6 + 3 = 9 )
Теперь подставим значения для ( x ) и ( z ):
- ( z = 1, x = 4 ) → число имеет вид ( 41y1 )
- ( z = 2, x = 5 ) → число имеет вид ( 52y2 )
- ( z = 3, x = 6 ) → число имеет вид ( 63y3 )
- ( z = 4, x = 7 ) → число имеет вид ( 74y4 )
- ( z = 5, x = 8 ) → число имеет вид ( 85y5 )
- ( z = 6, x = 9 ) → число имеет вид ( 96y6 )
Теперь мы можем искать числа, которые больше 900. То есть подходит только последнее число:
- Если ( z = 6, x = 9 ), ( y ) может быть от 0 до 9, следовательно, получаем числа:
- 906
- 916
- 926
- 936
- 946
- 956
- 966
- 976
- 986
- 996
Все подходящие числа в порядке возрастания:
[
906;916;926;936;946;956;966;976;986;996
]
