Найди сумму членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно, если известно, что a 1 = 19 a 1 ​ =19 и d = 14 d=14 .

Арифметическая прогрессия (АП) – это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается из предыдущего прибавлением постоянной разности, обозначаемой как \( d \).

Ваша задача состоит в нахождении суммы членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно, если первый член прогрессии \( a_1 = 19 \) и разность \( d = 14 \).

Шаг 1: Найдем десятый и двадцатый члены прогрессии

Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Теперь найдем 10-й член \( a_{10} \):

\[ a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot d = 19 + (9 \cdot 14) = 19 + 126 = 145 \]

Теперь найдем 20-й член \( a_{20} \):

\[ a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot d = 19 + (19 \cdot 14) = 19 + 266 = 285 \]

Шаг 2: Найдем количество членов от 10-го до 20-го

Количество членов в последовательности от 10 до 20 включает все числа от 10 до 20: \[ 20 - 10 + 1 = 11 \text{ членов} \]

Шаг 3: Найдем сумму членов арифметической прогрессии

Сумма \( S_n \) n первых членов арифметической прогрессии может быть вычислена по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Где \( n \) – число членов, \( a_1 \) – первый член, \( a_n \) – последний член. В нашем случае:

• Первый член:

\[ a_1 = a_{10} = 145 \]

• Последний член:

\[ a_n = a_{20} = 285 \]

• Подставим все в формулу для суммы:

\[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (145 + 285) = \frac{11}{2} \cdot 430 = \frac{11 \cdot 430}{2} = \frac{4730}{2} = 2365 \]

Ответ

Сумма членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно составляет 2365.