Реши уравнение x 3 + 4 x 2 = 6 x + 24 x 3 +4x 2 =6x+24 . Если корней несколько, то в ответе укажи их сумму.
Давайте решим уравнение \( x^3 + 4x^2 = 6x + 24 \).
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Сначала перенесем все члены на одну сторону уравнения:
\[ x^3 + 4x^2 - 6x - 24 = 0 \]
Теперь у нас есть кубическое уравнение в стандартной форме.
Шаг 2: Поиск корней уравнения
Для нахождения корней кубического уравнения можно использовать метод подбора целых корней. По теореме о разделителях свободного члена (в данном случае \( -24 \)), возможные целые корни могут быть числами: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24 \).
Пробуем \( x = 2 \):
\[ (2)^3 + 4(2)^2 - 6(2) - 24 = 8 + 16 - 12 - 24 = -12 \quad \text{(не корень)} \]
Пробуем \( x = 3 \):
\[ (3)^3 + 4(3)^2 - 6(3) - 24 = 27 + 36 - 18 - 24 = 21 \quad \text{(не корень)} \]
Пробуем \( x = -2 \):
\[ (-2)^3 + 4(-2)^2 - 6(-2) - 24 = -8 + 16 + 12 - 24 = -4 \quad \text{(не корень)} \]
Пробуем \( x = 4 \):
\[ (4)^3 + 4(4)^2 - 6(4) - 24 = 64 + 64 - 24 - 24 = 80 \quad \text{(не корень)} \]
Пробуем \( x = -3 \):
\[ (-3)^3 + 4(-3)^2 - 6(-3) - 24 = -27 + 36 + 18 - 24 = 3 \quad \text{(не корень)} \]
Пробуем \( x = -4 \):
\[ (-4)^3 + 4(-4)^2 - 6(-4) - 24 = -64 + 64 + 24 - 24 = 0 \quad \text{(корень)} \]
Шаг 3: Делим уравнение на \( (x + 4) \)
Теперь, когда мы нашли один корень \( x = -4 \), можем разделить начальное уравнение на \( (x + 4) \) с помощью деления многочленов.
Используя деление многочленов:
\[ x^3 + 4x^2 - 6x - 24 : (x + 4) \]
При делении получаем:
\[ x^2 + 0x - 6 \]
Шаг 4: Находим другие корни
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
\[ x^2 - 6 = 0 \]
Решим его:
\[ x^2 = 6 \]
\[ x = \pm \sqrt{6} \]
Шаг 5: Сумма корней
Итак, корни нашего уравнения:
- \( x_1 = -4 \)
- \( x_2 = \sqrt{6} \)
- \( x_3 = -\sqrt{6} \)
Чтобы найти сумму всех корней, используем:
\[ S = -4 + \sqrt{6} - \sqrt{6} = -4 \]
Ответ
Сумма корней уравнения равна \( -4 \).
