В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 3√10 и высота AH = 3. Найдите tg(∠BAC).
Чтобы решить задачу, давайте сначала поймем, что в треугольнике ABC у нас равнобедренный треугольник, так как AC = BC. Мы также знаем длину стороны AB и высоту из вершины A на сторону BC.
Определение высоты:
Высота AH делит сторону BC на две равные части, так как треугольник равнобедренный. Обозначим точку D, где высота пересекает BC. Тогда BD = DC = x. Таким образом, длина BC будет равна 2x.Используем теорему Пифагора:
В треугольнике ABD, используя теорему Пифагора, имеем: \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] Подставим известные значения: \[ (3\sqrt{10})^2 = 3^2 + x^2 \] \[ 90 = 9 + x^2 \] \[ x^2 = 90 - 9 = 81 \] \[ x = \sqrt{81} = 9 \] Таким образом, BD = 9 и BC = 2x = 18.Теперь можем найти tg(∠BAC):
В треугольнике AHD (где H - основание высоты) также применим отношение тангенса: \[ tg(∠BAC) = \frac{AH}{HD} \] Здесь AH = 3 (высота), а HD = BD = 9. Подставляем значения в формулу: \[ tg(∠BAC) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
Итак, tg(∠BAC) = \frac{1}{3}.
