В ящике лежат 10 носков: 7 белых и 3 розовых. Маша достает носки по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз она достанет розовый носок четвертым по…
В ящике лежат 10 носков: 7 белых и 3 розовых. Маша достает носки по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз она достанет розовый носок четвертым по счету?
Чтобы решить задачу о вероятности того, что Маша достанет розовый носок четвертым по счету, давайте проанализируем ситуацию шаг за шагом.
Шаг 1: Определим условия задачи
У нас есть 10 носков:
- 7 белых
- 3 розовых
Мы хотим знать вероятность того, что первый розовый носок будет извлечен на четвертом ходу. Это означает, что в первых трех вытаскиваемых носках не должно быть розового. Таким образом, необходимо извлечь три белых носка в первых трех попытках.
Шаг 2: Какова вероятность вытаскивания белых носков
- Общее количество носков: 10.
- Количество белых носков: 7.
Теперь будем рассчитывать вероятность того, что на первых трех попытках будут исключительно белые носки:
Первый носок: Вероятность того, что Маша достанет белый носок: \[ P_1 = \frac{7}{10} \]
Второй носок: После удаления одного белого носка в ящике останется 9 носков, из которых 6 белых: \[ P_2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
Третий носок: После удаления еще одного белого носка в ящике останется 8 носков, из которых 5 белых: \[ P_3 = \frac{5}{8} \]
Шаг 3: Перемножим вероятности
Теперь перемножим вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что в первых трех попытках будут только белые носки: \[ P(\text{три белых}) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} \]
Теперь проведем умножение: \[ P(\text{три белых}) = \frac{7 \cdot 2 \cdot 5}{10 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{70}{240} = \frac{7}{24} \]
Шаг 4: Вероятность достать розовый носок на четвертой попытке
После того, как Маша достала три белых носка, в ящике будет:
- 7 - 3 = 4 белых носка
- 3 розовых носка
Теперь вероятность того, что четвертым носком будет розовый: \[ P(\text{четвертый - розовый}) = \frac{3}{7} \]
Шаг 5: Общая вероятность
Теперь мы можем умножить вероятность извлечения трех белых носков на вероятность извлечения розового носка на четвертой попытке: \[ P(\text{первый розовый на четвертом}) = P(\text{три белых}) \cdot P(\text{четвертый - розовый}) = \frac{7}{24} \cdot \frac{3}{7} \] Это дает: \[ P(\text{первый розовый на четвертом}) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что Маша достанет розовый носок четвертым по счету, равна \(\frac{1}{8}\).
