В треугольнике ABC угол C = 68°, AD и BЕ - биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ.

Для решения задачи о нахождении угла \(AOB\) в треугольнике \(ABC\) с заданными условиями, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Данности:

   • Угол \(C = 68^\circ\).
   • \(AD\) и \(BE\) - биссектрисы углов \(A\) и \(B\) соответственно.

2. Свойства биссектрис:
   Биссектрисы делят углы пополам. Следовательно:

   • Угол \(A = \alpha\) означает, что биссектрисa \(AD\) делит угол \(A\) на два равных угла: по \(\frac{\alpha}{2}\) с обеих сторон.
   • Аналогично, угол \(B = \beta\) делится биссектрисой \(BE\) на два угла по \(\frac{\beta}{2}\).

3. Сумма углов треугольника:
   В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\): \[ \alpha + \beta + 68^\circ = 180^\circ \]

   Отсюда можно выразить \( \alpha + \beta \): \[ \alpha + \beta = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \]

4. Формирование угла \(AOB\):
   Угол \(AOB\) состоит из углов, образованных биссектрисами: \[ \angle AOB = \frac{1}{2} \times \alpha + \frac{1}{2} \times \beta \] Используем произведение с коэффициентом \(\frac{1}{2}\): \[ \angle AOB = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) = \frac{1}{2} \times 112^\circ = 56^\circ \]

5. Ответ:
   Таким образом, угол \(AOB\) равен \(56^\circ\).

Подведение итогов:

• Мы использовали свойства биссектрис и сумму углов треугольника, чтобы найти угол \(AOB\). Угол \(AOB\) составляет \(56^\circ\).