В треугольнике ABC угол C = 68°, AD и BЕ - биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ.

Для решения задачи о нахождении угла \(AOB\) в треугольнике \(ABC\) с заданными условиями, давайте рассмотрим следующие шаги: 1. **Данности:** - Угол \(C = 68^\circ\). - \(AD\) и \(BE\) - биссектрисы углов \(A\) и \(B\) соответственно. 2. **Свойства биссектрис:** Биссектрисы делят углы пополам. Следовательно: - Угол \(A = \alpha\) означает, что биссектрисa \(AD\) делит угол \(A\) на два равных угла: по \(\frac{\alpha}{2}\) с обеих сторон. - Аналогично, угол \(B = \beta\) делится биссектрисой \(BE\) на два угла по \(\frac{\beta}{2}\). 3. **Сумма углов треугольника:** В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\): \[ \alpha + \beta + 68^\circ = 180^\circ \] Отсюда можно выразить \( \alpha + \beta \): \[ \alpha + \beta = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \] 4. **Формирование угла \(AOB\):** Угол \(AOB\) состоит из углов, образованных биссектрисами: \[ \angle AOB = \frac{1}{2} \times \alpha + \frac{1}{2} \times \beta \] Используем произведение с коэффициентом \(\frac{1}{2}\): \[ \angle AOB = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) = \frac{1}{2} \times 112^\circ = 56^\circ \] 5. **Ответ:** Таким образом, угол \(AOB\) равен \(56^\circ\). ### Подведение итогов: - Мы использовали свойства биссектрис и сумму углов треугольника, чтобы найти угол \(AOB\). Угол \(AOB\) составляет \(56^\circ\).