\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2\,x+3}}}{\;\mathrm{d}x}

Чтобы решить интеграл \(\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2\,x+3}}}{\;\mathrm{d}x}\), начнем с упрощения подкоренного выражения.

Шаг 1: Упрощение выражения под корнем

Обратим внимание на выражение \(x^2 + 2x + 3\). Оно может быть представлено в виде полного квадрата:

\[ x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)^2 + 2 \]

Шаг 2: Подстановка

Теперь сделаем подстановку \(u = x + 1\), тогда \(du = dx\) и \(x = u - 1\). Подставим это в интеграл:

\[ \int \frac{1}{\sqrt{(u)^2 + 2}} \, du \]

Теперь интеграл выглядит так:

\[ \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 2}} \, du \]

Шаг 3: Использование тригонометрической подстановки

Мы знаем, что \(u^2 + 2\) можно записать как \(2(1 + \frac{u^2}{2})\). Используем тригонометрическую подстановку, сопоставив \(u = \sqrt{2}\tan(\theta)\):

\[ du = \sqrt{2}\sec^2(\theta) \, d\theta \]

Теперь подставляем в интеграл:

\[ \int \frac{\sqrt{2}\sec^2(\theta)}{\sqrt{2(\tan^2(\theta) + 1)}} \, d\theta = \int \frac{\sqrt{2}\sec^2(\theta)}{\sqrt{2\sec^2(\theta)}} \, d\theta = \int \frac{\sqrt{2}\sec^2(\theta)}{\sqrt{2}|\sec(\theta)|} \, d\theta \]

Для \(\theta\) в верхнем полупрямом \(\sec(\theta) \geq 0\), поэтому мы можем убрать модуль:

\[ \int \sec(\theta) \, d\theta \]

Шаг 4: Интеграл от секанса

Интеграл от \(\sec(\theta)\) равен:

\[ \ln |\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C \]

Шаг 5: Возврат к переменной \(x\)

Теперь вернемся к переменным \(u\) и \(x\). Мы знаем из подстановки, что:

\[ \sec(\theta) = \frac{\sqrt{u^2 + 2}}{\sqrt{2}}, \quad \tan(\theta) = \frac{u}{\sqrt{2}} \]

Подставив \(u = x + 1\), мы получаем:

\[ \sec(\theta) = \frac{\sqrt{(x + 1)^2 + 2}}{\sqrt{2}}, \quad \tan(\theta) = \frac{x + 1}{\sqrt{2}} \]

Подставив в выражение для интеграла, получаем:

\[ \ln\left|\frac{\sqrt{(x + 1)^2 + 2}}{\sqrt{2}} + \frac{x + 1}{\sqrt{2}}\right| + C = \ln\left|\sqrt{(x + 1)^2 + 2} + (x + 1)\right| - \ln(\sqrt{2}) + C = \ln\left|\sqrt{(x + 1)^2 + 2} + (x + 1)\right| + C_1 \]

где \(C_1 = C - \ln(\sqrt{2})\).

Итог

Таким образом, окончательный ответ на интеграл:

\[ \int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2\,x+3}}}{\;\mathrm{d}x} = \ln\left|\sqrt{(x + 1)^2 + 2} + (x + 1)\right| + C \]

где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.