\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2\,x+3}}}{\;\mathrm{d}x}

Чтобы решить интеграл \(\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2\,x+3}}}{\;\mathrm{d}x}\), начнем с упрощения подкоренного выражения. ### Шаг 1: Упрощение выражения под корнем Обратим внимание на выражение \(x^2 + 2x + 3\). Оно может быть представлено в виде полного квадрата: \[ x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)^2 + 2 \] ### Шаг 2: Подстановка Теперь сделаем подстановку \(u = x + 1\), тогда \(du = dx\) и \(x = u - 1\). Подставим это в интеграл: \[ \int \frac{1}{\sqrt{(u)^2 + 2}} \, du \] Теперь интеграл выглядит так: \[ \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 2}} \, du \] ### Шаг 3: Использование тригонометрической подстановки Мы знаем, что \(u^2 + 2\) можно записать как \(2(1 + \frac{u^2}{2})\). Используем тригонометрическую подстановку, сопоставив \(u = \sqrt{2}\tan(\theta)\): \[ du = \sqrt{2}\sec^2(\theta) \, d\theta \] Теперь подставляем в интеграл: \[ \int \frac{\sqrt{2}\sec^2(\theta)}{\sqrt{2(\tan^2(\theta) + 1)}} \, d\theta = \int \frac{\sqrt{2}\sec^2(\theta)}{\sqrt{2\sec^2(\theta)}} \, d\theta = \int \frac{\sqrt{2}\sec^2(\theta)}{\sqrt{2}|\sec(\theta)|} \, d\theta \] Для \(\theta\) в верхнем полупрямом \(\sec(\theta) \geq 0\), поэтому мы можем убрать модуль: \[ \int \sec(\theta) \, d\theta \] ### Шаг 4: Интеграл от секанса Интеграл от \(\sec(\theta)\) равен: \[ \ln |\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C \] ### Шаг 5: Возврат к переменной \(x\) Теперь вернемся к переменным \(u\) и \(x\). Мы знаем из подстановки, что: \[ \sec(\theta) = \frac{\sqrt{u^2 + 2}}{\sqrt{2}}, \quad \tan(\theta) = \frac{u}{\sqrt{2}} \] Подставив \(u = x + 1\), мы получаем: \[ \sec(\theta) = \frac{\sqrt{(x + 1)^2 + 2}}{\sqrt{2}}, \quad \tan(\theta) = \frac{x + 1}{\sqrt{2}} \] Подставив в выражение для интеграла, получаем: \[ \ln\left|\frac{\sqrt{(x + 1)^2 + 2}}{\sqrt{2}} + \frac{x + 1}{\sqrt{2}}\right| + C = \ln\left|\sqrt{(x + 1)^2 + 2} + (x + 1)\right| - \ln(\sqrt{2}) + C = \ln\left|\sqrt{(x + 1)^2 + 2} + (x + 1)\right| + C_1 \] где \(C_1 = C - \ln(\sqrt{2})\). ### Итог Таким образом, окончательный ответ на интеграл: \[ \int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2\,x+3}}}{\;\mathrm{d}x} = \ln\left|\sqrt{(x + 1)^2 + 2} + (x + 1)\right| + C \] где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.