Решить все задачи

Давайте разберём каждую из задач подробно.

Задача 1

Условие:
В прямоугольном треугольнике \( c = 13 \, \text{см} \), \( a = 5 \, \text{см} \). Найдите \( b, h_c, a_h \).

Решение:

Дан прямоугольный треугольник, где \( c \) — гипотенуза, \( a \) — один из катетов. Найдём второй катет \( b \).

1. Найти катет \( b \):
   По теореме Пифагора:
   \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
   \[ 13^2 = 5^2 + b^2 \]
   \[ 169 = 25 + b^2 \]
   \[ b^2 = 169 - 25 = 144 \]
   \[ b = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \]

2. Найти высоту \( h_c \) к гипотенузе:
   Формула высоты к гипотенузе:
   \[ h_c = \frac{a \cdot b}{c} \]
   \[ h_c = \frac{5 \cdot 12}{13} \approx 4.62 \, \text{см} \]

3. Найти медиану \( a_h \):
   По свойству медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, она равна половине гипотенузы:
   \[ a_h = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{см} \]

Задача 2

Условие:
В прямоугольном треугольнике \( ABC \) (\( \angle C = 90^\circ \)) проведена высота \( CH \), \( AH = 36 \, \text{см} \), \( BH = 25 \, \text{см} \). Найдите:
а) \( AC, AB, BC \)
б) \(\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CHB}}\)

Решение:

1. Найдём катет \( AC \) и гипотенузу \( AB \):
   По свойству высоты в прямоугольном треугольнике:
   \[ CH^2 = AH \cdot BH \] \[ CH^2 = 36 \cdot 25 = 900 \] \[ CH = \sqrt{900} = 30 \, \text{см} \]

   Теперь найдём катеты:
   \[ AC = \sqrt{AH \cdot AB} = \sqrt{36 \cdot (36 + 25)} = \sqrt{36 \cdot 61} = 6\sqrt{61} \]

   \[ BC = \sqrt{BH \cdot AB} = \sqrt{25 \cdot (36 + 25)} = \sqrt{25 \cdot 61} = 5\sqrt{61} \]

   \[ AB = 36 + 25 = 61 \, \text{см} \]

2. Найдём отношение площадей:

   Площадь \( \triangle ABC \):
   \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{61} \cdot 5\sqrt{61} = \frac{1}{2} \cdot 1861 = 930.5 \]

   Площадь \( \triangle CHB \):
   \[ S_{\triangle CHB} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 25 = 375 \]

   Отношение: \[ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CHB}} = \frac{930.5}{375} \approx 2.48 \]

Задача 3

Условие:
Высота CD, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, делит отрезок \( AD = 9 \, \text{дм} \) и \( BD = 4 \, \text{дм} \), на длину отрезка CD во 4 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

1. Найти стороны треугольника:

   Дано \( AD = 9 \), \( BD = 4 \).

   \[ CD^2 = AD \cdot BD = 9 \cdot 4 = 36 \]

   \[ CD = \sqrt{36} = 6 \, \text{дм} \]

   Таким образом, стороны треугольника:
   \( AD, BD, \text{и гипотенуза } AB = 9 + 4 = 13 \).

Эти задачи выполнены с подробными расчётами и объяснениями, чтобы помочь вам лучше понять решение!