Решить все задачи

Давайте разберём каждую из задач подробно. ### Задача 1 **Условие:** В прямоугольном треугольнике \( c = 13 \, \text{см} \), \( a = 5 \, \text{см} \). Найдите \( b, h_c, a_h \). #### Решение: Дан прямоугольный треугольник, где \( c \) — гипотенуза, \( a \) — один из катетов. Найдём второй катет \( b \). 1. **Найти катет \( b \):** По теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ 13^2 = 5^2 + b^2 \] \[ 169 = 25 + b^2 \] \[ b^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \] 2. **Найти высоту \( h_c \) к гипотенузе:** Формула высоты к гипотенузе: \[ h_c = \frac{a \cdot b}{c} \] \[ h_c = \frac{5 \cdot 12}{13} \approx 4.62 \, \text{см} \] 3. **Найти медиану \( a_h \):** По свойству медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, она равна половине гипотенузы: \[ a_h = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{см} \] ### Задача 2 **Условие:** В прямоугольном треугольнике \( ABC \) (\( \angle C = 90^\circ \)) проведена высота \( CH \), \( AH = 36 \, \text{см} \), \( BH = 25 \, \text{см} \). Найдите: а) \( AC, AB, BC \) б) \(\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CHB}}\) #### Решение: 1. **Найдём катет \( AC \) и гипотенузу \( AB \):** По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: \[ CH^2 = AH \cdot BH \] \[ CH^2 = 36 \cdot 25 = 900 \] \[ CH = \sqrt{900} = 30 \, \text{см} \] Теперь найдём катеты: \[ AC = \sqrt{AH \cdot AB} = \sqrt{36 \cdot (36 + 25)} = \sqrt{36 \cdot 61} = 6\sqrt{61} \] \[ BC = \sqrt{BH \cdot AB} = \sqrt{25 \cdot (36 + 25)} = \sqrt{25 \cdot 61} = 5\sqrt{61} \] \[ AB = 36 + 25 = 61 \, \text{см} \] 2. **Найдём отношение площадей:** Площадь \( \triangle ABC \): \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{61} \cdot 5\sqrt{61} = \frac{1}{2} \cdot 1861 = 930.5 \] Площадь \( \triangle CHB \): \[ S_{\triangle CHB} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 25 = 375 \] Отношение: \[ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CHB}} = \frac{930.5}{375} \approx 2.48 \] ### Задача 3 **Условие:** Высота CD, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, делит отрезок \( AD = 9 \, \text{дм} \) и \( BD = 4 \, \text{дм} \), на длину отрезка CD во 4 см. Найдите стороны треугольника. #### Решение: 1. **Найти стороны треугольника:** Дано \( AD = 9 \), \( BD = 4 \). \[ CD^2 = AD \cdot BD = 9 \cdot 4 = 36 \] \[ CD = \sqrt{36} = 6 \, \text{дм} \] Таким образом, стороны треугольника: \( AD, BD, \text{и гипотенуза } AB = 9 + 4 = 13 \). Эти задачи выполнены с подробными расчётами и объяснениями, чтобы помочь вам лучше понять решение!